微积分学示例

4 y'' = y

$4 y'' = y$ ,

y = e^{r x}

$y = e^{r x}$

解题步骤 1

求

y'

$y'$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

解题步骤 1.2

y

$y$ 对

x

$x$ 的导数为

y'

$y'$ 。

y'

$y'$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ 且

g (x) = r x

$g (x) = r x$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

要使用链式法则，请将

u

$u$ 设为

r x

$r x$ 。

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

解题步骤 1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ ，其中

a

$a$ =

e

$e$ 。

e^{u} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

解题步骤 1.3.1.3

使用

r x

$r x$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

解题步骤 1.3.2

求微分。

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解题步骤 1.3.2.1

因为

r

$r$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

r x

$r x$ 对

x

$x$ 的导数是

r \frac{d}{d x} [x]

$r \frac{d}{d x} [x]$ 。

e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

e^{r x} (r \cdot 1)

$e^{r x} (r \cdot 1)$

解题步骤 1.3.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.2.3.1

将

r

$r$ 乘以

1

$1$ 。

e^{r x} r

$e^{r x} r$

解题步骤 1.3.2.3.2

将

e^{r x} r

$e^{r x} r$ 中的因式重新排序。

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

r e^{r x}

$r e^{r x}$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

y' = r e^{r x}

$y' = r e^{r x}$

y' = r e^{r x}

$y' = r e^{r x}$

解题步骤 2

求

y''

$y''$ 。

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解题步骤 2.1

建立导数。

y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

解题步骤 2.2

因为

r

$r$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

r e^{r x}

$r e^{r x}$ 对

x

$x$ 的导数是

r \frac{d}{d x} [e^{r x}]

$r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ 。

y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ 且

g (x) = r x

$g (x) = r x$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将

u

$u$ 设为

r x

$r x$ 。

y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ ，其中

a

$a$ =

e

$e$ 。

y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

解题步骤 2.3.3

使用

r x

$r x$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

解题步骤 2.4

因为

r

$r$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

r x

$r x$ 对

x

$x$ 的导数是

r \frac{d}{d x} [x]

$r \frac{d}{d x} [x]$ 。

y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.5

对

r

$r$ 进行

1

$1$ 次方运算。

y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.6

对

r

$r$ 进行

1

$1$ 次方运算。

y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.7

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.8

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将

e^{r x}

$e^{r x}$ 乘以

1

$1$ 。

y'' = r^{2} e^{r x}

$y'' = r^{2} e^{r x}$

y'' = r^{2} e^{r x}

$y'' = r^{2} e^{r x}$

解题步骤 3

代入给定的微分方程。

4 (r^{2} e^{r x}) = y

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

解题步骤 4

代入

y

$y$ 替换

e^{r x}

$e^{r x}$ 。

4 (r^{2} y) = y

$4 (r^{2} y) = y$

解题步骤 5

求解

r

$r$ 。

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解题步骤 5.1

将

4 r^{2} y = y

$4 r^{2} y = y$ 中的每一项除以

4 y

$4 y$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1

将

4 r^{2} y = y

$4 r^{2} y = y$ 中的每一项都除以

4 y

$4 y$ 。

\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

约去

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

解题步骤 5.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

解题步骤 5.1.2.2

约去

$y$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

解题步骤 5.1.2.2.2

用

$r^{2}$ 除以

$1$ 。

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.1

约去

$y$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.1.1

约去公因数。

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

解题步骤 5.1.3.1.2

重写表达式。

$r^{2} = \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

解题步骤 5.3

化简

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 5.3.1

将

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 。

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.3.2

$1$ 的任意次方根都是

$1$ 。

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.3.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.3.1

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 5.3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$r = \pm \frac{1}{2}$

解题步骤 5.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.4.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$r = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.4.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$r = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

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