微积分学示例

$3 y'' + y = 0$ , $y = \sin (k x)$

解题步骤 1

求 $y'$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

解题步骤 1.2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = k x$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $k x$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

解题步骤 1.3.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

解题步骤 1.3.1.3

使用 $k x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

解题步骤 1.3.2

求微分。

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解题步骤 1.3.2.1

因为 $k$ 对于 $x$ 是常数，所以 $k x$ 对 $x$ 的导数是 $k \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

解题步骤 1.3.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.2.3.1

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$\cos (k x) k$

解题步骤 1.3.2.3.2

重新排序 $\cos (k x) k$ 的因式。

$k \cos (k x)$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = k \cos (k x)$

解题步骤 2

求 $y''$ 。

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解题步骤 2.1

建立导数。

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

解题步骤 2.2

因为 $k$ 对于 $x$ 是常数，所以 $k \cos (k x)$ 对 $x$ 的导数是 $k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ 。

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = k x$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $k x$ 。

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

解题步骤 2.3.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

解题步骤 2.3.3

使用 $k x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

解题步骤 2.4

因为 $k$ 对于 $x$ 是常数，所以 $k x$ 对 $x$ 的导数是 $k \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.5

对 $k$ 进行 $1$ 次方运算。

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.6

对 $k$ 进行 $1$ 次方运算。

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

解题步骤 2.11

重新排序 $k^{2} (- \sin (k x))$ 的因式。

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

解题步骤 3

代入给定的微分方程。

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

解题步骤 4

代入 $y$ 替换 $\sin (k x)$ 。

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

解题步骤 5

求解 $k$ 。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 k^{2} y + y = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$- 3 k^{2} y = - y$

解题步骤 5.3

将 $- 3 k^{2} y = - y$ 中的每一项除以 $- 3 y$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 3 k^{2} y = - y$ 中的每一项都除以 $- 3 y$ 。

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $k^{2}$ 除以 $1$ 。

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去公因数。

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

解题步骤 5.3.3.1.2

重写表达式。

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

解题步骤 5.3.3.2

将两个负数相除得到一个正数。

$k^{2} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.5.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.5.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.5.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.5.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 5.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.5.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.6.4.1

约去公因数。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.4.6.4.2

重写表达式。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 5.5.4.6.5

计算指数。

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

小数形式：

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

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