微积分学示例

y' = 2 y

$y' = 2 y$ ,

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ ,

y (0) = 3

$y (0) = 3$

解题步骤 1

验证给定的解是否满足微分方程。

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解题步骤 1.1

求

y'

$y'$ 。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边同时取微分

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

解题步骤 1.1.2

y

$y$ 对

x

$x$ 的导数为

y'

$y'$ 。

y'

$y'$

解题步骤 1.1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为

c

$c$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ 对

x

$x$ 的导数是

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ 且

g (x) = 2 x

$g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1

要使用链式法则，请将

u

$u$ 设为

2 x

$2 x$ 。

c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ ，其中

a

$a$ =

e

$e$ 。

c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.1.3.2.3

使用

2 x

$2 x$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 1.1.3.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.3.1

因为

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

2 x

$2 x$ 对

x

$x$ 的导数是

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

c e^{2 x} (2 \cdot 1)

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.3.1

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

c e^{2 x} \cdot 2

$c e^{2 x} \cdot 2$

解题步骤 1.1.3.3.3.2

将

2

$2$ 移到

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ 的左侧。

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

解题步骤 1.1.3.4

化简。

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解题步骤 1.1.3.4.1

重新排序

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$ 的因式。

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$

解题步骤 1.1.3.4.2

将

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$ 中的因式重新排序。

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

解题步骤 1.1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

解题步骤 1.2

代入给定的微分方程。

2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

解题步骤 1.3

去掉圆括号。

2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

解题步骤 1.4

给定的解满足给定微分方程。

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ 是

y' = 2 y

$y' = 2 y$ 的解

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ 是

y' = 2 y

$y' = 2 y$ 的解

解题步骤 2

代入初始条件。

3 = c e^{2 \cdot 0}

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

解题步骤 3

求解

c

$c$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$ 。

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

解题步骤 3.2

化简

c e^{2 \cdot 0}

$c e^{2 \cdot 0}$ 。

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解题步骤 3.2.1

将

2

$2$ 乘以

0

$0$ 。

c e^{0} = 3

$c e^{0} = 3$

解题步骤 3.2.2

任何数的

0

$0$ 次方都是

1

$1$ 。

c \cdot 1 = 3

$c \cdot 1 = 3$

解题步骤 3.2.3

将

c

$c$ 乘以

1

$1$ 。

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

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