微积分学示例

$y' = 3 x^{2}$ , $y = x^{3} - 4 + c$ , $y (0) = 5$

解题步骤 1

验证给定的解是否满足微分方程。

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解题步骤 1.1

求 $y'$ 。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)$

解题步骤 1.1.2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 1.1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $x^{3} - 4 + c$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 1.1.3.4

因为 $c$ 对于 $x$ 是常数，所以 $c$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0 + 0$

解题步骤 1.1.3.5

合并项。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 1.1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 3 x^{2}$

解题步骤 1.2

代入给定的微分方程。

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

解题步骤 1.3

给定的解满足给定微分方程。

$y = x^{3} - 4 + c$ 是 $y' = 3 x^{2}$ 的解

解题步骤 2

代入初始条件。

$5 = 0^{3} - 4 + c$

解题步骤 3

求解 $c$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $0^{3} - 4 + c = 5$ 。

$0^{3} - 4 + c = 5$

解题步骤 3.2

化简 $0^{3} - 4 + c$ 。

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解题步骤 3.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 4 + c = 5$

解题步骤 3.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$- 4 + c = 5$

解题步骤 3.3

将所有不包含 $c$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$c = 5 + 4$

解题步骤 3.3.2

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$c = 9$

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