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微积分学示例

y' = 2 x y

$y' = 2 x y$ ,

y = c e^{x^{2}}

$y = c e^{x^{2}}$ ,

y (0) = 1

$y (0) = 1$

解题步骤 1

验证给定的解是否满足微分方程。

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解题步骤 1.1

求

y'

$y'$ 。

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解题步骤 1.1.1

在等式两边同时取微分

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{x^{2}})$

解题步骤 1.1.2

y

$y$ 对

x

$x$ 的导数为

y'

$y'$ 。

y'

$y'$

解题步骤 1.1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为

c

$c$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

c e^{x^{2}}

$c e^{x^{2}}$ 对

x

$x$ 的导数是

c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ 。

c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]

$c \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

$f (x) = e^{x}$ 且

$g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.1

要使用链式法则，请将

$u$ 设为

$x^{2}$ 。

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于

$a^{u} \ln (a)$ ，其中

$a$ =

$e$ 。

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.1.3.2.3

使用

$x^{2}$ 替换所有出现的

$u$ 。

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

$c (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$c e^{x^{2}} (2 x)$

解题步骤 1.1.3.4

化简。

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解题步骤 1.1.3.4.1

重新排序

$c e^{x^{2}} (2 x)$ 的因式。

$2 e^{x^{2}} c x$

解题步骤 1.1.3.4.2

将

$2 e^{x^{2}} c x$ 中的因式重新排序。

$2 c x e^{x^{2}}$

$2 c x e^{x^{2}}$

$2 c x e^{x^{2}}$

解题步骤 1.1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

$y' = 2 c x e^{x^{2}}$

解题步骤 1.2

代入给定的微分方程。

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$

解题步骤 1.3

将

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x (c e^{x^{2}})$ 中的因式重新排序。

$2 c x e^{x^{2}} = 2 x c e^{x^{2}}$

解题步骤 1.4

给定的解满足给定微分方程。

$y = c e^{x^{2}}$ 是

$y' = 2 x y$ 的解

$y = c e^{x^{2}}$ 是

$y' = 2 x y$ 的解

解题步骤 2

代入初始条件。

$1 = c e^{0^{2}}$

解题步骤 3

求解

$c$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为

$c e^{0^{2}} = 1$ 。

$c e^{0^{2}} = 1$

解题步骤 3.2

将

$c e^{0^{2}} = 1$ 中的每一项除以

$e^{0^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将

$c e^{0^{2}} = 1$ 中的每一项都除以

$e^{0^{2}}$ 。

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去

$e^{0^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{c e^{0^{2}}}{e^{0^{2}}} = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用

$c$ 除以

$1$ 。

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

$c = \frac{1}{e^{0^{2}}}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简分母。

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解题步骤 3.2.3.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$c = \frac{1}{e^{0}}$

解题步骤 3.2.3.1.2

任何数的

$0$ 次方都是

$1$ 。

$c = \frac{1}{1}$

$c = \frac{1}{1}$

解题步骤 3.2.3.2

用

$1$ 除以

$1$ 。

$c = 1$

$c = 1$

$c = 1$

$c = 1$

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$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$