微积分学示例

\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 3)

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 3)$ ,

y (1) = 0

$y (1) = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以

\frac{1}{e^{- y}}

$\frac{1}{e^{- y}}$ 。

\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))$

解题步骤 1.2

约去

e^{- y}

$e^{- y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 3))$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 3

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 3$

\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 3

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 3$

解题步骤 1.3

重写该方程。

\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 3) d x

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 3) d x$

\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 3) d x

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 3) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 3 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1.1

将

e^{- y}

$e^{- y}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 3 d x$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将

{(e^{- y})}^{- 1}

${(e^{- y})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 3 d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2

乘以

- y \cdot - 1

$- y \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.1.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 3 d x$

解题步骤 2.2.1.2.1.2.2

将

y

$y$ 乘以

1

$1$ 。

\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

解题步骤 2.2.1.2.2

将

e^{y}

$e^{y}$ 乘以

1

$1$ 。

\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 3 d x$

解题步骤 2.2.2

e^{y}

$e^{y}$ 对

y

$y$ 的积分为

e^{y}

$e^{y}$ 。

e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 3 d x$

e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 3 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 3 d x$

解题步骤 2.3.2

由于

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

2

$2$ 移到积分外。

e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 3 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则，

x

$x$ 对

x

$x$ 的积分是

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ 。

e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 3 d x

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 3 d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

x^{2}

$x^{2}$ 。

e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 3 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}$

e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}$

e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 3 x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为

K

$K$ 。

e^{y} = x^{2} - 3 x + K

$e^{y} = x^{2} - 3 x + K$

e^{y} = x^{2} - 3 x + K

$e^{y} = x^{2} - 3 x + K$

解题步骤 3

求解

y

$y$ 。

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解题步骤 3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

解题步骤 3.2

展开左边。

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解题步骤 3.2.1

通过将

y

$y$ 移到对数外来展开

\ln (e^{y})

$\ln (e^{y})$ 。

y \ln (e) = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

解题步骤 3.2.2

e

$e$ 的自然对数为

1

$1$ 。

y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

解题步骤 3.2.3

将

y

$y$ 乘以

1

$1$ 。

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$

解题步骤 4

使用初始条件，通过将

1

$1$ 代入

x

$x$ ，将

0

$0$ 代入

y

$y$ ，在

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$ 中求

K

$K$ 的值。

0 = \ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)

$0 = \ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)$

解题步骤 5

求解

K

$K$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为

\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0

$\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0$ 。

\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0

$\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0$

解题步骤 5.2

要求解

K

$K$ ，请利用对数的性质重写方程。

e^{\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)} = e^{0}

$e^{\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K)} = e^{0}$

解题步骤 5.3

使用对数的定义将

\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0

$\ln (1^{2} - 3 \cdot 1 + K) = 0$ 重写成指数形式。如果

x

$x$ 和

b

$b$ 是正实数且

b \neq 1

$b \neq 1$ ，则

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ 等价于

b^{y} = x

$b^{y} = x$ 。

e^{0} = 1^{2} - 3 \cdot 1 + K

$e^{0} = 1^{2} - 3 \cdot 1 + K$

解题步骤 5.4

求解

K

$K$ 。

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解题步骤 5.4.1

将方程重写为

1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}

$1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}$ 。

1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}

$1^{2} - 3 \cdot 1 + K = e^{0}$

解题步骤 5.4.2

化简

1^{2} - 3 \cdot 1 + K

$1^{2} - 3 \cdot 1 + K$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

1 - 3 \cdot 1 + K = e^{0}

$1 - 3 \cdot 1 + K = e^{0}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将

- 3

$- 3$ 乘以

1

$1$ 。

1 - 3 + K = e^{0}

$1 - 3 + K = e^{0}$

1 - 3 + K = e^{0}

$1 - 3 + K = e^{0}$

解题步骤 5.4.2.2

从

1

$1$ 中减去

3

$3$ 。

- 2 + K = e^{0}

$- 2 + K = e^{0}$

- 2 + K = e^{0}

$- 2 + K = e^{0}$

解题步骤 5.4.3

任何数的

0

$0$ 次方都是

1

$1$ 。

- 2 + K = 1

$- 2 + K = 1$

解题步骤 5.4.4

将所有不包含

K

$K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.4.4.1

在等式两边都加上

2

$2$ 。

K = 1 + 2

$K = 1 + 2$

解题步骤 5.4.4.2

将

1

$1$ 和

2

$2$ 相加。

K = 3

$K = 3$

K = 3

$K = 3$

K = 3

$K = 3$

K = 3

$K = 3$

解题步骤 6

代入

3

$3$ 替换

y = \ln (x^{2} - 3 x + K)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + K)$ 中的

K

$K$ 并化简。

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解题步骤 6.1

代入

3

$3$ 替换

K

$K$ 。

y = \ln (x^{2} - 3 x + 3)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + 3)$

y = \ln (x^{2} - 3 x + 3)

$y = \ln (x^{2} - 3 x + 3)$

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