微积分学示例

\frac{d y}{d t} = sin (t)

$\frac{d y}{d t} = \sin (t)$ ,

y (0) = 1

$y (0) = 1$ ,

t = 0.5

$t = 0.5$ ,

h = 0.05

$h = 0.05$

解题步骤 1

定义

f (t, y)

$f (t, y)$ ，使

\frac{d y}{d t} = f (t, y)

$\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ 。

f (t, y) = sin (t)

$f (t, y) = \sin (t)$

解题步骤 2

求

f (0, 1)

$f (0, 1)$ 。

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解题步骤 2.1

将

0

$0$ 代入

t

$t$ ，将

1

$1$ 代入

y

$y$ 。

f (0, 1) = sin (0)

$f (0, 1) = \sin (0)$

解题步骤 2.2

计算

sin (0)

$\sin (0)$ 。

f (0, 1) = 0

$f (0, 1) = 0$

f (0, 1) = 0

$f (0, 1) = 0$

解题步骤 3

使用递归公式

y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})

$y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ 求

y_{1}

$y_{1}$ 。

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解题步骤 3.1

替换。

y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0

$y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将

0.05

$0.05$ 乘以

0

$0$ 。

y_{1} = 1 + 0

$y_{1} = 1 + 0$

解题步骤 3.2.2

将

1

$1$ 和

0

$0$ 相加。

y_{1} = 1

$y_{1} = 1$

y_{1} = 1

$y_{1} = 1$

y_{1} = 1

$y_{1} = 1$

解题步骤 4

使用递归公式

t_{1} = t_{0} + h

$t_{1} = t_{0} + h$ 求

t_{1}

$t_{1}$ 。

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解题步骤 4.1

替换。

t_{1} = 0 + 0.05

$t_{1} = 0 + 0.05$

解题步骤 4.2

将

0

$0$ 和

0.05

$0.05$ 相加。

t_{1} = 0.05

$t_{1} = 0.05$

t_{1} = 0.05

$t_{1} = 0.05$

解题步骤 5

求

f (0.05, 1)

$f (0.05, 1)$ 。

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解题步骤 5.1

将

0.05

$0.05$ 代入

t

$t$ ，将

1

$1$ 代入

y

$y$ 。

f (0.05, 1) = sin (0.05)

$f (0.05, 1) = \sin (0.05)$

解题步骤 5.2

计算

sin (0.05)

$\sin (0.05)$ 。

f (0.05, 1) = 0.04997916

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

f (0.05, 1) = 0.04997916

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

解题步骤 6

使用递归公式

y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})

$y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ 求

y_{2}

$y_{2}$ 。

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解题步骤 6.1

替换。

y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916

$y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将

0.05

$0.05$ 乘以

0.04997916

$0.04997916$ 。

y_{2} = 1 + 0.00249895

$y_{2} = 1 + 0.00249895$

解题步骤 6.2.2

将

1

$1$ 和

0.00249895

$0.00249895$ 相加。

y_{2} = 1.00249895

$y_{2} = 1.00249895$

y_{2} = 1.00249895

$y_{2} = 1.00249895$

y_{2} = 1.00249895

$y_{2} = 1.00249895$

解题步骤 7

使用递归公式

t_{2} = t_{1} + h

$t_{2} = t_{1} + h$ 求

t_{2}

$t_{2}$ 。

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解题步骤 7.1

替换。

t_{2} = 0.05 + 0.05

$t_{2} = 0.05 + 0.05$

解题步骤 7.2

将

0.05

$0.05$ 和

0.05

$0.05$ 相加。

t_{2} = 0.1

$t_{2} = 0.1$

t_{2} = 0.1

$t_{2} = 0.1$

解题步骤 8

以同样的方式继续，直到近似计算出所需值。

解题步骤 9

在表格中列出近似值。

\begin{matrix} t_{n} & y_{n} 0 & 1 0.05 & 1 0.1 & 1.00249895 0.15 & 1.00749062 0.2 & 1.01496253 0.25 & 1.024896 0.3 & 1.0372662 0.35 & 1.05204221 0.4 & 1.0691871 0.45 & 1.08865801 0.5 & 1.11040629 \end{matrix}

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.05 & 1 \\ 0.1 & 1.00249895 \\ 0.15 & 1.00749062 \\ 0.2 & 1.01496253 \\ 0.25 & 1.024896 \\ 0.3 & 1.0372662 \\ 0.35 & 1.05204221 \\ 0.4 & 1.0691871 \\ 0.45 & 1.08865801 \\ 0.5 & 1.11040629 \end{array}$

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