微积分学示例

\frac{d y}{d t} = e^{t}

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ ,

y (0) = 1

$y (0) = 1$ ,

t = 5

$t = 5$ ,

h = 0.5

$h = 0.5$

解题步骤 1

定义

f (t, y)

$f (t, y)$ ，使

\frac{d y}{d t} = f (t, y)

$\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ 。

f (t, y) = e^{t}

$f (t, y) = e^{t}$

解题步骤 2

求

f (0, 1)

$f (0, 1)$ 。

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解题步骤 2.1

将

0

$0$ 代入

t

$t$ ，将

1

$1$ 代入

y

$y$ 。

f (0, 1) = e^{0}

$f (0, 1) = e^{0}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

使用近似值替换

e

$e$ 。

f (0, 1) = {2.71828182}^{0}

$f (0, 1) = {2.71828182}^{0}$

解题步骤 2.2.2

对

2.71828182

$2.71828182$ 进行

0

$0$ 次方运算。

f (0, 1) = 1

$f (0, 1) = 1$

f (0, 1) = 1

$f (0, 1) = 1$

f (0, 1) = 1

$f (0, 1) = 1$

解题步骤 3

使用递归公式

y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})

$y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ 求

y_{1}

$y_{1}$ 。

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解题步骤 3.1

替换。

y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1

$y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将

0.5

$0.5$ 乘以

1

$1$ 。

y_{1} = 1 + 0.5

$y_{1} = 1 + 0.5$

解题步骤 3.2.2

将

1

$1$ 和

0.5

$0.5$ 相加。

y_{1} = 1.5

$y_{1} = 1.5$

y_{1} = 1.5

$y_{1} = 1.5$

y_{1} = 1.5

$y_{1} = 1.5$

解题步骤 4

使用递归公式

t_{1} = t_{0} + h

$t_{1} = t_{0} + h$ 求

t_{1}

$t_{1}$ 。

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解题步骤 4.1

替换。

t_{1} = 0 + 0.5

$t_{1} = 0 + 0.5$

解题步骤 4.2

将

0

$0$ 和

0.5

$0.5$ 相加。

t_{1} = 0.5

$t_{1} = 0.5$

t_{1} = 0.5

$t_{1} = 0.5$

解题步骤 5

求

f (0.5, 1.5)

$f (0.5, 1.5)$ 。

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解题步骤 5.1

将

0.5

$0.5$ 代入

t

$t$ ，将

1.5

$1.5$ 代入

y

$y$ 。

f (0.5, 1.5) = e^{0.5}

$f (0.5, 1.5) = e^{0.5}$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

使用近似值替换

e

$e$ 。

f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}

$f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}$

解题步骤 5.2.2

对

2.71828182

$2.71828182$ 进行

0.5

$0.5$ 次方运算。

f (0.5, 1.5) = 1.64872127

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

f (0.5, 1.5) = 1.64872127

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

f (0.5, 1.5) = 1.64872127

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

解题步骤 6

使用递归公式

y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})

$y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ 求

y_{2}

$y_{2}$ 。

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解题步骤 6.1

替换。

y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127

$y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将

0.5

$0.5$ 乘以

1.64872127

$1.64872127$ 。

y_{2} = 1.5 + 0.82436063

$y_{2} = 1.5 + 0.82436063$

解题步骤 6.2.2

将

1.5

$1.5$ 和

0.82436063

$0.82436063$ 相加。

y_{2} = 2.32436063

$y_{2} = 2.32436063$

y_{2} = 2.32436063

$y_{2} = 2.32436063$

y_{2} = 2.32436063

$y_{2} = 2.32436063$

解题步骤 7

使用递归公式

t_{2} = t_{1} + h

$t_{2} = t_{1} + h$ 求

t_{2}

$t_{2}$ 。

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解题步骤 7.1

替换。

t_{2} = 0.5 + 0.5

$t_{2} = 0.5 + 0.5$

解题步骤 7.2

将

0.5

$0.5$ 和

0.5

$0.5$ 相加。

t_{2} = 1

$t_{2} = 1$

t_{2} = 1

$t_{2} = 1$

解题步骤 8

以同样的方式继续，直到近似计算出所需值。

解题步骤 9

在表格中列出近似值。

\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}$

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