微积分学示例

$f (x) = 2 x + 2$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 2 (x + h) + 2$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = 2 x + 2 h + 2$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $2 x + 2 h + 2$ 。

$2 x + 2 h + 2$

解题步骤 2.2

将 $2 x$ 和 $2 h$ 重新排序。

$2 h + 2 x + 2$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 2 h + 2 x + 2$

$f (x) = 2 x + 2$

$f (x + h) = 2 h + 2 x + 2$

$f (x) = 2 x + 2$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - (2 x + 2)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

从 $2 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - (2 (x) + 2)}{h}$

解题步骤 4.1.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - (2 (x) + 2 (1))}{h}$

解题步骤 4.1.1.3

从 $2 (x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - (2 (x + 1))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - 1 \cdot (2 (x + 1))}{h}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - 2 (x + 1)}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $2 h + 2 x + 2 - 2 (x + 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

从 $2 h$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 2 - 2 (x + 1)}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 2 - 2 (x + 1)}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 2 (1) - 2 (x + 1)}{h}$

解题步骤 4.1.3.4

从 $- 2 (x + 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 2 (1) + 2 (- (x + 1))}{h}$

解题步骤 4.1.3.5

从 $2 h + 2 (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x) + 2 (1) + 2 (- (x + 1))}{h}$

解题步骤 4.1.3.6

从 $2 (h + x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 1) + 2 (- (x + 1))}{h}$

解题步骤 4.1.3.7

从 $2 (h + x + 1) + 2 (- (x + 1))$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 1 - (x + 1))}{h}$

解题步骤 4.1.4

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 1 - x - 1 \cdot 1)}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 1 - x - 1)}{h}$

解题步骤 4.1.6

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 0 + 1 - 1)}{h}$

解题步骤 4.1.7

将 $h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 1 - 1)}{h}$

解题步骤 4.1.8

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 0)}{h}$

解题步骤 4.1.9

将 $h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{h}$

解题步骤 4.2

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{h}$

解题步骤 4.2.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 5

计算 $2$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2$

解题步骤 6

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