微积分学示例

f (x) = 6 x + 2

$f (x) = 6 x + 2$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在

$x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的

$x + h$ 替换变量

$x$ 。

$f (x + h) = 6 (x + h) + 2$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = 6 x + 6 h + 2$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为

$6 x + 6 h + 2$ 。

$6 x + 6 h + 2$

解题步骤 2.2

将

$6 x$ 和

$6 h$ 重新排序。

$6 h + 6 x + 2$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 6 h + 6 x + 2$

$f (x) = 6 x + 2$

$f (x + h) = 6 h + 6 x + 2$

$f (x) = 6 x + 2$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (6 x + 2)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

从

$6 x + 2$ 中分解出因数

$2$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

从

$6 x$ 中分解出因数

$2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2)}{h}$

解题步骤 4.1.1.2

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2 (1))}{h}$

解题步骤 4.1.1.3

从

$2 (3 x) + 2 (1)$ 中分解出因数

$2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x + 1))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - 1 \cdot (2 (3 x + 1))}{h}$

解题步骤 4.1.2

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

解题步骤 4.1.3

从

$6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)$ 中分解出因数

$2$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

从

$6 h$ 中分解出因数

$2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

从

$6 x$ 中分解出因数

$2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) - 2 (3 x + 1)}{h}$

解题步骤 4.1.3.4

从

$- 2 (3 x + 1)$ 中分解出因数

$2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

解题步骤 4.1.3.5

从

$2 (3 h) + 2 (3 x)$ 中分解出因数

$2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

解题步骤 4.1.3.6

从

$2 (3 h + 3 x) + 2 (1)$ 中分解出因数

$2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

解题步骤 4.1.3.7

从

$2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))$ 中分解出因数

$2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x + 1))}{h}$

解题步骤 4.1.4

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x) - 1 \cdot 1)}{h}$

解题步骤 4.1.5

将

$3$ 乘以

$- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1 \cdot 1)}{h}$

解题步骤 4.1.6

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1)}{h}$

解题步骤 4.1.7

从

$3 x$ 中减去

$3 x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 0 + 1 - 1)}{h}$

解题步骤 4.1.8

将

$3 h$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 1 - 1)}{h}$

解题步骤 4.1.9

从

$1$ 中减去

$1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 0)}{h}$

解题步骤 4.1.10

将

$3 h$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot (3 h)}{h}$

解题步骤 4.1.11

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{h}$

解题步骤 4.2

约去

$h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{h}$

解题步骤 4.2.2

用

$6$ 除以

$1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6$

解题步骤 5

计算

$6$ 的极限值，当

$h$ 趋近于

$0$ 时此极限值为常数。

$6$

解题步骤 6

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