微积分学示例

f (x) = x^{2} + 2 x

$f (x) = x^{2} + 2 x$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在

$x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的

$x + h$ 替换变量

$x$ 。

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 2 (x + h)$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将

${(x + h)}^{2}$ 重写为

$(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 2 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开

$(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 2 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 2 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1.1

将

$x$ 乘以

$x$ 。

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3.1.2

将

$h$ 乘以

$h$ 。

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

将

$x h$ 和

$h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.3.2.1

将

$x$ 和

$h$ 重新排序。

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3.2.2

将

$h x$ 和

$h x$ 相加。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.4

运用分配律。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$ 。

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 x + 2 h$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动

$2 x$ 。

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 2 x$

解题步骤 2.2.2

移动

$x^{2}$ 。

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 2 h + 2 x$

解题步骤 2.2.3

将

$2 h x$ 和

$h^{2}$ 重新排序。

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{2} + 2 x$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x$

$f (x) = x^{2} + 2 x$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - (x^{2} + 2 x)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - (2 x)}{h}$

解题步骤 4.1.2

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 h + 2 x - x^{2} - 2 x}{h}$

解题步骤 4.1.3

从

$x^{2}$ 中减去

$x^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x + 0 - 2 x}{h}$

解题步骤 4.1.4

将

$h^{2}$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 2 x - 2 x}{h}$

解题步骤 4.1.5

从

$2 x$ 中减去

$2 x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.6

将

$h^{2} + 2 h x + 2 h$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 h}{h}$

解题步骤 4.1.7

从

$h^{2} + 2 h x + 2 h$ 中分解出因数

$h$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

从

$h^{2}$ 中分解出因数

$h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 2 h}{h}$

解题步骤 4.1.7.2

从

$2 h x$ 中分解出因数

$h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 2 h}{h}$

解题步骤 4.1.7.3

从

$2 h$ 中分解出因数

$h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 2}{h}$

解题步骤 4.1.7.4

从

$h (h) + h (2 x)$ 中分解出因数

$h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 2}{h}$

解题步骤 4.1.7.5

从

$h (h + 2 x) + h \cdot 2$ 中分解出因数

$h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去

$h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 2)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用

$h + 2 x + 2$ 除以

$1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 2$

解题步骤 4.2.2

将

$h$ 和

$2 x$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 2$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当

$h$ 趋于

$0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 5.2

计算

$2 x$ 的极限值，当

$h$ 趋近于

$0$ 时此极限值为常数。

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2$

解题步骤 5.3

计算

$2$ 的极限值，当

$h$ 趋近于

$0$ 时此极限值为常数。

$2 x + lim_{h \to 0} h + 2$

解题步骤 6

将

$0$ 代入

$h$ 来计算

$h$ 的极限值。

$2 x + 0 + 2$

解题步骤 7

将

$2 x$ 和

$0$ 相加。

$2 x + 2$

解题步骤 8

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