微积分学示例

$y = x^{\ln (x)}$

解题步骤 1

设 $y = f (x)$ ，对 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 两边取自然对数。

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

解题步骤 2

展开右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

通过将 $\ln (x)$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\ln (x)})$ 。

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

解题步骤 2.2

对 $\ln (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

解题步骤 2.3

对 $\ln (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

解题步骤 2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

解题步骤 3

使用链式法则对表达式求导，记住 $y$ 是 $x$ 的函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

用链式法则对 $\ln (y)$ 的左边求导。

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

解题步骤 3.2

对右边求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

对 $\ln^{2} (x)$ 求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

解题步骤 3.2.4

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.4.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $2$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

解题步骤 3.2.4.2

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

解题步骤 3.2.5

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

解题步骤 4

分离出 $y'$ ，将原函数代入右边的 $y$ 。

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

解题步骤 5

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

组合 $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ 和 $x^{\ln (x)}$ 。

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

解题步骤 5.2

约去 $x^{\ln (x)}$ 和 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从 $\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

解题步骤 5.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

解题步骤 5.2.2.3

约去公因数。

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

解题步骤 5.2.2.4

重写表达式。

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

解题步骤 5.2.2.5

用 $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ 除以 $1$ 。

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

解题步骤 5.3

将 $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ 中的因式重新排序。

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

输入您的问题

微积分学 示例

微积分学示例