微积分学示例

y = x^{ln (x)}

$y = x^{\ln (x)}$

解题步骤 1

设

y = f (x)

$y = f (x)$ ，对

ln (y) = ln (f (x))

$\ln (y) = \ln (f (x))$ 两边取自然对数。

ln (y) = ln (x^{ln (x)})

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

解题步骤 2

展开右边。

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解题步骤 2.1

通过将

ln (x)

$\ln (x)$ 移到对数外来展开

ln (x^{ln (x)})

$\ln (x^{\ln (x)})$ 。

ln (y) = ln (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

解题步骤 2.2

对

ln (x)

$\ln (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

ln (y) = {ln}^{1} (x) ln (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

解题步骤 2.3

对

ln (x)

$\ln (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

ln (y) = {ln}^{1} (x) {ln}^{1} (x)

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

解题步骤 2.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

ln (y) = {ln (x)}^{1 + 1}

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 2.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

ln (y) = {ln}^{2} (x)

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

解题步骤 3

使用链式法则对表达式求导，记住

y

$y$ 是

x

$x$ 的函数。

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解题步骤 3.1

用链式法则对

ln (y)

$\ln (y)$ 的左边求导。

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

解题步骤 3.2

对右边求导。

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解题步骤 3.2.1

对

$\ln^{2} (x)$ 求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

$f (x) = x^{2}$ 且

$g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将

$u$ 设为

$\ln (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于

$n u^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.2.2.3

使用

$\ln (x)$ 替换所有出现的

$u$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.2.3

$\ln (x)$ 对

$x$ 的导数为

$\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

解题步骤 3.2.4

合并分数。

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解题步骤 3.2.4.1

组合

$\frac{1}{x}$ 和

$2$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

解题步骤 3.2.4.2

组合

$\frac{2}{x}$ 和

$\ln (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

解题步骤 3.2.5

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简

$2 \ln (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

解题步骤 4

分离出

$y'$ ，将原函数代入右边的

$y$ 。

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

组合

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$ 和

$x^{\ln (x)}$ 。

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

解题步骤 5.2

约去

$x^{\ln (x)}$ 和

$x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ 中分解出因数

$x$ 。

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

解题步骤 5.2.2.2

从

$x^{1}$ 中分解出因数

$x$ 。

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

解题步骤 5.2.2.3

约去公因数。

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

解题步骤 5.2.2.4

重写表达式。

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

解题步骤 5.2.2.5

用

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ 除以

$1$ 。

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

解题步骤 5.3

将

$\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ 中的因式重新排序。

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

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