微积分学示例

x^{3} + y^{3} = 4

$x^{3} + y^{3} = 4$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (4)

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则，

x^{3} + y^{3}

$x^{3} + y^{3}$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 3

$n = 3$ 。

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2

计算

\frac{d}{d x} [y^{3}]

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

f (x) = x^{3}

$f (x) = x^{3}$ 且

g (x) = y

$g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将

u

$u$ 设为

y

$y$ 。

3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ ，其中

n = 3

$n = 3$ 。

3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.1.3

使用

y

$y$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.2

将

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ 重写为

y'

$y'$ 。

3 x^{2} + 3 y^{2} y'

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

3 x^{2} + 3 y^{2} y'

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

3 x^{2} + 3 y^{2} y'

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

解题步骤 3

因为

4

$4$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

4

$4$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

0

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5

求解

y'

$y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去

3 x^{2}

$3 x^{2}$ 。

3 y^{2} y' = - 3 x^{2}

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.2

将

3 y^{2} y' = - 3 x^{2}

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ 中的每一项除以

3 y^{2}

$3 y^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将

3 y^{2} y' = - 3 x^{2}

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ 中的每一项都除以

3 y^{2}

$3 y^{2}$ 。

\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去

3

$3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

解题步骤 5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

约去

$y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2.2

用

$y'$ 除以

$1$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

约去

$- 3$ 和

$3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从

$- 3 x^{2}$ 中分解出因数

$3$ 。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

从

$3 y^{2}$ 中分解出因数

$3$ 。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 5.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

解题步骤 6

使用

$\frac{d y}{d x}$ 替换

$y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

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