微积分学示例

y = x + 4 x^{2}

$y = x + 4 x^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 4 x^{2})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 4 x^{2})$

解题步骤 2

y

$y$ 对

x

$x$ 的导数为

y'

$y'$ 。

y'

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则，

x + 4 x^{2}

$x + 4 x^{2}$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]

$1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]

$1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

解题步骤 3.2

计算

\frac{d}{d x} [4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为

4

$4$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

4 x^{2}

$4 x^{2}$ 对

x

$x$ 的导数是

4 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

1 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$1 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

1 + 4 (2 x)

$1 + 4 (2 x)$

解题步骤 3.2.3

将

2

$2$ 乘以

4

$4$ 。

1 + 8 x

$1 + 8 x$

1 + 8 x

$1 + 8 x$

解题步骤 3.3

重新排序项。

8 x + 1

$8 x + 1$

8 x + 1

$8 x + 1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

y' = 8 x + 1

$y' = 8 x + 1$

解题步骤 5

使用

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ 替换

y'

$y'$ 。

\frac{d y}{d x} = 8 x + 1

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 1$

解题步骤 6

建立

\frac{d y}{d x} = 0

$\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对

y

$y$ 求解

x

$x$ 。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

8 x = - 1

$8 x = - 1$

解题步骤 6.2

将

8 x = - 1

$8 x = - 1$ 中的每一项除以

8

$8$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将

8 x = - 1

$8 x = - 1$ 中的每一项都除以

8

$8$ 。

\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去

8

$8$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

解题步骤 6.2.2.1.2

用

$x$ 除以

$1$ 。

$x = \frac{- 1}{8}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{8}$

解题步骤 7

求解

$y$ 。

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解题步骤 7.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{1}{8} + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

解题步骤 7.2

去掉圆括号。

$y = (- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

解题步骤 7.3

化简

$(- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

使用幂法则

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.3.1.1.1

对

$- \frac{1}{8}$ 运用乘积法则。

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})$

解题步骤 7.3.1.1.2

对

$\frac{1}{8}$ 运用乘积法则。

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}})$

解题步骤 7.3.1.2

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$y = - \frac{1}{8} + 4 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}})$

解题步骤 7.3.1.3

将

$\frac{1^{2}}{8^{2}}$ 乘以

$1$ 。

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1^{2}}{8^{2}}$

解题步骤 7.3.1.4

一的任意次幂都为一。

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{8^{2}}$

解题步骤 7.3.1.5

对

$8$ 进行

$2$ 次方运算。

$y = - \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{64})$

解题步骤 7.3.1.6

约去

$4$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.6.1

从

$64$ 中分解出因数

$4$ 。

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 (16)}$

解题步骤 7.3.1.6.2

约去公因数。

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 \cdot 16}$

解题步骤 7.3.1.6.3

重写表达式。

$y = - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

解题步骤 7.3.2

要将

$- \frac{1}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}$

解题步骤 7.3.3

通过与

$1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母

$16$ 的形式。

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解题步骤 7.3.3.1

将

$\frac{1}{8}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}$

解题步骤 7.3.3.2

将

$8$ 乘以

$2$ 。

$y = - \frac{2}{16} + \frac{1}{16}$

解题步骤 7.3.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 2 + 1}{16}$

解题步骤 7.3.5

将

$- 2$ 和

$1$ 相加。

$y = \frac{- 1}{16}$

解题步骤 7.3.6

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{16}$

解题步骤 8

求使

$\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(- \frac{1}{8}, - \frac{1}{16})$

解题步骤 9

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