微积分学示例

$y = | x^{2} - x |$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - x |)$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = x^{2} - x$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - x$ 。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

解题步骤 3.1.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x^{2} - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x^{2} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 3.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$

解题步骤 3.2.5.2

重新排序 $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$ 的因式。

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

解题步骤 6

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

解题步骤 6.2

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 6.2.2

求解 $x$ 的 $2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 6.2.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3

将 $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ 设为等于 $0$ 。

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

解题步骤 6.3.2

求解 $x$ 的 $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

将分子设为等于零。

$x^{2} - x = 0$

解题步骤 6.3.2.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.3.2.2.1

从 $x^{2} - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x - x = 0$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

解题步骤 6.3.2.2.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x - 1) = 0$

解题步骤 6.3.2.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.3.2.2.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.3.2.2.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.3.2.2.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 6.3.2.2.5

最终解为使 $x (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1$

解题步骤 6.4

最终解为使 $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{2}, 0, 1$

解题步骤 6.5

排除不能使 $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ 成立的解。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 7

化简 $| {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) |$ 。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$y = | \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

解题步骤 7.1.2

一的任意次幂都为一。

$y = | \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

解题步骤 7.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} |$

解题步骤 7.2

要将 $- \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} |$

解题步骤 7.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 7.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} |$

解题步骤 7.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{4} |$

解题步骤 7.4

在公分母上合并分子。

$y = | \frac{1 - 2}{4} |$

解题步骤 7.5

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$y = | \frac{- 1}{4} |$

解题步骤 7.6

将负号移到分数的前面。

$y = | - \frac{1}{4} |$

解题步骤 7.7

$- \frac{1}{4}$ 约为 $- 0.25$ ，因其为负数，所以对 $- \frac{1}{4}$ 取反并去掉绝对值

$y = \frac{1}{4}$

解题步骤 8

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

解题步骤 9

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