微积分学示例

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 \cos (3 x))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $6 x - 4 \cos (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

解题步骤 3.2.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \cos (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ 。

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

解题步骤 3.3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

解题步骤 3.3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

解题步骤 3.3.7

将 $- 3$ 乘以 $- 4$ 。

$6 + 12 \sin (3 x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 6 + 12 \sin (3 x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 6 + 12 \sin (3 x)$

解题步骤 6

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$12 \sin (3 x) = - 6$

解题步骤 6.2

将 $12 \sin (3 x) = - 6$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $12 \sin (3 x) = - 6$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

解题步骤 6.2.2.1.2

用 $\sin (3 x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (3 x) = \frac{- 6}{12}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

约去 $- 6$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\sin (3 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

解题步骤 6.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

解题步骤 6.2.3.1.2.2

约去公因数。

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

解题步骤 6.2.3.1.2.3

重写表达式。

$\sin (3 x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.4

化简右边。

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解题步骤 6.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$3 x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.5

将 $3 x = - \frac{π}{6}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.5.1

将 $3 x = - \frac{π}{6}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

解题步骤 6.5.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

解题步骤 6.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

解题步骤 6.5.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 6.5.3.2

乘以 $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 6.5.3.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

解题步骤 6.5.3.2.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$x = - \frac{π}{18}$

解题步骤 6.6

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 6.7

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.7.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 6.7.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$3 x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 6.7.3

将 $3 x = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.7.3.1

将 $3 x = \frac{7 π}{6}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

解题步骤 6.7.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.7.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

解题步骤 6.7.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

解题步骤 6.7.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.7.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 6.7.3.3.2

乘以 $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 6.7.3.3.2.1

将 $\frac{7 π}{6}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

解题步骤 6.7.3.3.2.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{7 π}{18}$

解题步骤 6.8

求 $\sin (3 x)$ 的周期。

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解题步骤 6.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.8.2

使用周期公式中的 $3$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

解题步骤 6.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 6.9

将 $\frac{2 π}{3}$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.9.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 加到 $- \frac{π}{18}$ 以求正角。

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

解题步骤 6.9.2

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

解题步骤 6.9.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $18$ 的形式。

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解题步骤 6.9.3.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

解题步骤 6.9.3.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

解题步骤 6.9.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

解题步骤 6.9.5

化简分子。

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解题步骤 6.9.5.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - π}{18}$

解题步骤 6.9.5.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{18}$

解题步骤 6.9.6

列出新角。

$x = \frac{11 π}{18}$

解题步骤 6.10

$\sin (3 x)$ 函数的周期为 $\frac{2 π}{3}$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $\frac{2 π}{3}$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

化简 $6 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ 。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$y = 6 \frac{7 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 7.1.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $6$ 。

$y = 6 \frac{7 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 7.1.2.2

约去公因数。

$y = 6 \frac{7 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 7.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{7 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 7.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{7 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 7.1.3.2

约去公因数。

$y = \frac{7 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 7.1.3.3

重写表达式。

$y = \frac{7 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 7.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 7.1.5

运用分配律。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

解题步骤 7.1.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.6.1

从 $18$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

解题步骤 7.1.6.2

约去公因数。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

解题步骤 7.1.6.3

重写表达式。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

解题步骤 7.1.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.7.1

约去公因数。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

解题步骤 7.1.7.2

重写表达式。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

解题步骤 7.2

通过交换进行化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{7 π}{6}$ 和 $2 π n$ 重新排序。

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

解题步骤 7.2.2

将 $\frac{7 π}{3}$ 和 $4 π n$ 重新排序。

$y = 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

解题步骤 8

化简 $6 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ 。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

运用分配律。

$y = 6 \frac{11 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 8.1.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $6$ 。

$y = 6 \frac{11 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 8.1.2.2

约去公因数。

$y = 6 \frac{11 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 8.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{11 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 8.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{11 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 8.1.3.2

约去公因数。

$y = \frac{11 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 8.1.3.3

重写表达式。

$y = \frac{11 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 8.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

解题步骤 8.1.5

运用分配律。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

解题步骤 8.1.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.6.1

从 $18$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

解题步骤 8.1.6.2

约去公因数。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

解题步骤 8.1.6.3

重写表达式。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

解题步骤 8.1.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.7.1

约去公因数。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

解题步骤 8.1.7.2

重写表达式。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

解题步骤 8.2

通过交换进行化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $\frac{11 π}{6}$ 和 $2 π n$ 重新排序。

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

解题步骤 8.2.2

将 $\frac{11 π}{3}$ 和 $4 π n$ 重新排序。

$y = 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

解题步骤 9

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6}))$ ，对于任意整数 $n$

$(\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6}))$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

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