微积分学示例

{(2 x^{7} - 4 x)}^{8}

${(2 x^{7} - 4 x)}^{8}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

f (x) = x^{8}

$f (x) = x^{8}$ 且

g (x) = 2 x^{7} - 4 x

$g (x) = 2 x^{7} - 4 x$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将

u

$u$ 设为

2 x^{7} - 4 x

$2 x^{7} - 4 x$ 。

\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 4 x]

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 4 x]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ ，其中

n = 8

$n = 8$ 。

8 u^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 4 x]

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 4 x]$

解题步骤 1.3

使用

2 x^{7} - 4 x

$2 x^{7} - 4 x$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 4 x]

$8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 4 x]$

8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 4 x]

$8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 4 x]$

解题步骤 2

根据加法法则，

2 x^{7} - 4 x

$2 x^{7} - 4 x$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]

$\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])

$8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

解题步骤 3

计算

\frac{d}{d x} [2 x^{7}]

$\frac{d}{d x} [2 x^{7}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

2 x^{7}

$2 x^{7}$ 对

x

$x$ 的导数是

2 \frac{d}{d x} [x^{7}]

$2 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 。

8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (2 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])

$8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (2 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 7

$n = 7$ 。

8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (2 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 4 x])

$8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (2 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

解题步骤 3.3

将

7

$7$ 乘以

2

$2$ 。

8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 4 x])

$8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 4 x])

$8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

解题步骤 4

计算

\frac{d}{d x} [- 4 x]

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 4.1

因为

- 4

$- 4$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- 4 x

$- 4 x$ 对

x

$x$ 的导数是

- 4 \frac{d}{d x} [x]

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (14 x^{6} - 4 \frac{d}{d x} [x])

$8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (14 x^{6} - 4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (14 x^{6} - 4 \cdot 1)

$8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (14 x^{6} - 4 \cdot 1)$

解题步骤 4.3

将

- 4

$- 4$ 乘以

1

$1$ 。

8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (14 x^{6} - 4)

$8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (14 x^{6} - 4)$

8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (14 x^{6} - 4)

$8 {(2 x^{7} - 4 x)}^{7} (14 x^{6} - 4)$

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