微积分学示例

$\sin^{2} (6 x)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (6 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sin (6 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (6 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $6 x$ 。

$2 \sin (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$2 \sin (6 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 2.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \sin (6 x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \sin (6 x) (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \sin (6 x) (\cos (6 x) (6 \cdot 1))$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$2 \sin (6 x) (\cos (6 x) \cdot 6)$

解题步骤 3.3.2

将 $6$ 移到 $\cos (6 x)$ 的左侧。

$2 \sin (6 x) (6 \cdot \cos (6 x))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$12 \sin (6 x) \cos (6 x)$

解题步骤 4.2

重新排序 $12 \sin (6 x) \cos (6 x)$ 的因式。

$12 \cos (6 x) \sin (6 x)$

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