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微积分学示例

\sin^{2} (6 x)

$\sin^{2} (6 x)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ 且

g (x) = \sin (6 x)

$g (x) = \sin (6 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将

u_{1}

$u_{1}$ 设为

\sin (6 x)

$\sin (6 x)$ 。

\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于

n {u_{1}}^{n - 1}

$n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 1.3

使用

\sin (6 x)

$\sin (6 x)$ 替换所有出现的

u_{1}

$u_{1}$ 。

2 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]

$2 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

2 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]

$2 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

f (x) = \sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ 且

g (x) = 6 x

$g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将

u_{2}

$u_{2}$ 设为

6 x

$6 x$ 。

2 \sin (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])

$2 \sin (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 2.2

\sin (u_{2})

$\sin (u_{2})$ 对

u_{2}

$u_{2}$ 的导数为

\cos (u_{2})

$\cos (u_{2})$ 。

2 \sin (6 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])

$2 \sin (6 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 2.3

使用

6 x

$6 x$ 替换所有出现的

u_{2}

$u_{2}$ 。

2 \sin (6 x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])

$2 \sin (6 x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

2 \sin (6 x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])

$2 \sin (6 x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为

6

$6$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

6 x

$6 x$ 对

x

$x$ 的导数是

6 \frac{d}{d x} [x]

$6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

2 \sin (6 x) (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))

$2 \sin (6 x) (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

2 \sin (6 x) (\cos (6 x) (6 \cdot 1))

$2 \sin (6 x) (\cos (6 x) (6 \cdot 1))$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将

6

$6$ 乘以

1

$1$ 。

2 \sin (6 x) (\cos (6 x) \cdot 6)

$2 \sin (6 x) (\cos (6 x) \cdot 6)$

解题步骤 3.3.2

将

6

$6$ 移到

\cos (6 x)

$\cos (6 x)$ 的左侧。

2 \sin (6 x) (6 \cdot \cos (6 x))

$2 \sin (6 x) (6 \cdot \cos (6 x))$

2 \sin (6 x) (6 \cdot \cos (6 x))

$2 \sin (6 x) (6 \cdot \cos (6 x))$

2 \sin (6 x) (6 \cdot \cos (6 x))

$2 \sin (6 x) (6 \cdot \cos (6 x))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将

6

$6$ 乘以

2

$2$ 。

12 \sin (6 x) \cos (6 x)

$12 \sin (6 x) \cos (6 x)$

解题步骤 4.2

重新排序

12 \sin (6 x) \cos (6 x)

$12 \sin (6 x) \cos (6 x)$ 的因式。

12 \cos (6 x) \sin (6 x)

$12 \cos (6 x) \sin (6 x)$

12 \cos (6 x) \sin (6 x)

$12 \cos (6 x) \sin (6 x)$

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[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$