微积分学示例

$\frac{x}{x^{2} - 8}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中

$f (x) = x$ 且

$g (x) = x^{2} - 8$ 。

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 2.2

将

$x^{2} - 8$ 乘以

$1$ 。

$\frac{x^{2} - 8 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则，

$x^{2} - 8$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{x^{2} - 8 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为

$- 8$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 8$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将

$2 x$ 和

$0$ 相加。

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 3

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} - 8 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 4

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} - 8 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 6

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 7

从

$x^{2}$ 中减去

$2 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} - 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

从

$- x^{2}$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 8.2

将

$- 8$ 重写为

$- 1 (8)$ 。

$\frac{- (x^{2}) - 1 (8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 8.3

从

$- (x^{2}) - 1 (8)$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 8.4

将

$- (x^{2} + 8)$ 重写为

$- 1 (x^{2} + 8)$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

解题步骤 8.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} + 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

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