微积分学示例

L (x) = x^{2}

$L (x) = x^{2}$

解题步骤 1

使用基尼指数公式

G = 2 \int_{0}^{1} x - L (x) d x

$G = 2 \int_{0}^{1} x - L (x) d x$ 。

解题步骤 2

代入

x^{2}

$x^{2}$ 替换

L (x)

$L (x)$ 。

G = 2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x

$G = 2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

解题步骤 3

计算

2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x

$2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x$ 。

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解题步骤 3.1

将单个积分拆分为多个积分。

G = 2 (\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)

$G = 2 (\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

解题步骤 3.2

根据幂法则，

x

$x$ 对

x

$x$ 的积分是

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ 。

G = 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)

$G = 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

解题步骤 3.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

x^{2}

$x^{2}$ 。

G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

解题步骤 3.4

由于

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

- 1

$- 1$ 移到积分外。

G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x)

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

解题步骤 3.5

根据幂法则，

x^{2}

$x^{2}$ 对

x

$x$ 的积分是

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ 。

G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

解题步骤 3.6

化简答案。

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解题步骤 3.6.1

组合

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 和

x^{3}

$x^{3}$ 。

G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

解题步骤 3.6.2

代入并化简。

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解题步骤 3.6.2.1

计算

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$ 在

1

$1$ 处和在

0

$0$ 处的值。

G = 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))

$G = 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

解题步骤 3.6.2.2

计算

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ 在

1

$1$ 处和在

0

$0$ 处的值。

G = 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3

化简。

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解题步骤 3.6.2.3.1

一的任意次幂都为一。

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.2

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.3

约去

0

$0$ 和

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.3.1

从

0

$0$ 中分解出因数

2

$2$ 。

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.3.2.1

从

2

$2$ 中分解出因数

2

$2$ 。

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.3.2.2

约去公因数。

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.3.2.3

重写表达式。

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.3.2.4

用

0

$0$ 除以

1

$1$ 。

G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.4

将

- 1

$- 1$ 乘以

0

$0$ 。

G = 2 (\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.5

将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

0

$0$ 相加。

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.6

一的任意次幂都为一。

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.7

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.8

约去

0

$0$ 和

3

$3$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.8.1

从

0

$0$ 中分解出因数

3

$3$ 。

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.8.2.1

从

3

$3$ 中分解出因数

3

$3$ 。

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 3.6.2.3.8.2.2

约去公因数。

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 3.6.2.3.8.2.3

重写表达式。

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

解题步骤 3.6.2.3.8.2.4

用

0

$0$ 除以

1

$1$ 。

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))$

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))$

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))$

解题步骤 3.6.2.3.9

将

- 1

$- 1$ 乘以

0

$0$ 。

G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0))

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0))$

解题步骤 3.6.2.3.10

将

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 和

0

$0$ 相加。

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$

解题步骤 3.6.2.3.11

要将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 3.6.2.3.12

要将

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 3.6.2.3.13

通过与

1

$1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母

6

$6$ 的形式。

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解题步骤 3.6.2.3.13.1

将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 乘以

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

G = 2 (\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})

$G = 2 (\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 3.6.2.3.13.2

将

2

$2$ 乘以

3

$3$ 。

G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 3.6.2.3.13.3

将

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 乘以

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2})

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2})$

解题步骤 3.6.2.3.13.4

将

3

$3$ 乘以

2

$2$ 。

G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})$

G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})$

解题步骤 3.6.2.3.14

在公分母上合并分子。

G = 2 \frac{3 - 2}{6}

$G = 2 \frac{3 - 2}{6}$

解题步骤 3.6.2.3.15

从

3

$3$ 中减去

2

$2$ 。

G = 2 (\frac{1}{6})

$G = 2 (\frac{1}{6})$

解题步骤 3.6.2.3.16

组合

2

$2$ 和

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ 。

G = \frac{2}{6}

$G = \frac{2}{6}$

解题步骤 3.6.2.3.17

约去

2

$2$ 和

6

$6$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.17.1

从

2

$2$ 中分解出因数

2

$2$ 。

G = \frac{2 (1)}{6}

$G = \frac{2 (1)}{6}$

解题步骤 3.6.2.3.17.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.17.2.1

从

6

$6$ 中分解出因数

2

$2$ 。

G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}

$G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.2.3.17.2.2

约去公因数。

G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}

$G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.2.3.17.2.3

重写表达式。

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

G = \frac{1}{3}

$G = \frac{1}{3}$

解题步骤 4

转换成小数。

G = 0.\overline{3}

$G = 0.\overline{3}$

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