微积分学示例

$L (x) = x^{2}$

解题步骤 1

使用基尼指数公式 $G = 2 \int_{0}^{1} x - L (x) d x$ 。

解题步骤 2

代入 $x^{2}$ 替换 $L (x)$ 。

$G = 2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

解题步骤 3

计算 $2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x$ 。

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解题步骤 3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$G = 2 (\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

解题步骤 3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$G = 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

解题步骤 3.4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

解题步骤 3.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

解题步骤 3.6

化简答案。

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解题步骤 3.6.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

解题步骤 3.6.2

代入并化简。

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解题步骤 3.6.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$G = 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

解题步骤 3.6.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$G = 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3

化简。

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解题步骤 3.6.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.3

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.3.2.2

约去公因数。

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.3.2.3

重写表达式。

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$G = 2 (\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.5

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.6

一的任意次幂都为一。

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.8

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.8.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

解题步骤 3.6.2.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.8.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 3.6.2.3.8.2.2

约去公因数。

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 3.6.2.3.8.2.3

重写表达式。

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

解题步骤 3.6.2.3.8.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))$

解题步骤 3.6.2.3.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0))$

解题步骤 3.6.2.3.10

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$

解题步骤 3.6.2.3.11

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 3.6.2.3.12

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 3.6.2.3.13

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 3.6.2.3.13.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$G = 2 (\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 3.6.2.3.13.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 3.6.2.3.13.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2})$

解题步骤 3.6.2.3.13.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})$

解题步骤 3.6.2.3.14

在公分母上合并分子。

$G = 2 \frac{3 - 2}{6}$

解题步骤 3.6.2.3.15

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$G = 2 (\frac{1}{6})$

解题步骤 3.6.2.3.16

组合 $2$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$G = \frac{2}{6}$

解题步骤 3.6.2.3.17

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.17.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$G = \frac{2 (1)}{6}$

解题步骤 3.6.2.3.17.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.3.17.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.2.3.17.2.2

约去公因数。

$G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.6.2.3.17.2.3

重写表达式。

$G = \frac{1}{3}$

解题步骤 4

转换成小数。

$G = 0.\overline{3}$

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