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微积分学示例

p = 25 - 0.3 q

$p = 25 - 0.3 q$ ,

q = 50

$q = 50$

解题步骤 1

要求需求弹性，使用公式

E = ∣ ∣ ∣ \frac{p}{q} \frac{d q}{d p} ∣ ∣ ∣

$E = | \frac{p}{q} \frac{d q}{d p} |$ 。

解题步骤 2

在

p = 25 - 0.3 q

$p = 25 - 0.3 q$ 中将

q

$q$ 替换成

50

$50$ ，并化简以求解

p

$p$ 。

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解题步骤 2.1

代入

50

$50$ 替换

q

$q$ 。

p = 25 - 0.3 \cdot 50

$p = 25 - 0.3 \cdot 50$

解题步骤 2.2

将

- 0.3

$- 0.3$ 乘以

50

$50$ 。

p = 25 - 15

$p = 25 - 15$

解题步骤 2.3

从

25

$25$ 中减去

15

$15$ 。

p = 10

$p = 10$

p = 10

$p = 10$

解题步骤 3

求解

q

$q$ 的需求函数。

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解题步骤 3.1

将方程重写为

25 - 0.3 q = p

$25 - 0.3 q = p$ 。

25 - 0.3 q = p

$25 - 0.3 q = p$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去

25

$25$ 。

- 0.3 q = p - 25

$- 0.3 q = p - 25$

解题步骤 3.3

将

- 0.3 q = p - 25

$- 0.3 q = p - 25$ 中的每一项除以

- 0.3

$- 0.3$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将

- 0.3 q = p - 25

$- 0.3 q = p - 25$ 中的每一项都除以

- 0.3

$- 0.3$ 。

\frac{- 0.3 q}{- 0.3} = \frac{p}{- 0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}

$\frac{- 0.3 q}{- 0.3} = \frac{p}{- 0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去

- 0.3

$- 0.3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

\frac{- 0.3 q}{- 0.3} = \frac{p}{- 0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}

$\frac{- 0.3 q}{- 0.3} = \frac{p}{- 0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用

q

$q$ 除以

1

$1$ 。

q = \frac{p}{- 0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}

$q = \frac{p}{- 0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}$

q = \frac{p}{- 0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}

$q = \frac{p}{- 0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}$

q = \frac{p}{- 0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}

$q = \frac{p}{- 0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

q = - \frac{p}{0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}

$q = - \frac{p}{0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}$

解题步骤 3.3.3.1.2

乘以

1

$1$ 。

q = - \frac{1 p}{0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}

$q = - \frac{1 p}{0.3} + \frac{- 25}{- 0.3}$

解题步骤 3.3.3.1.3

从

0.3

$0.3$ 中分解出因数

0.3

$0.3$ 。

q = - \frac{1 p}{0.3 (1)} + \frac{- 25}{- 0.3}

$q = - \frac{1 p}{0.3 (1)} + \frac{- 25}{- 0.3}$

解题步骤 3.3.3.1.4

分离分数。

q = - (\frac{1}{0.3} \cdot \frac{p}{1}) + \frac{- 25}{- 0.3}

$q = - (\frac{1}{0.3} \cdot \frac{p}{1}) + \frac{- 25}{- 0.3}$

解题步骤 3.3.3.1.5

用

1

$1$ 除以

0.3

$0.3$ 。

q = - (3. ¯ 3 \frac{p}{1}) + \frac{- 25}{- 0.3}

$q = - (3.\overline{3} \frac{p}{1}) + \frac{- 25}{- 0.3}$

解题步骤 3.3.3.1.6

用

p

$p$ 除以

1

$1$ 。

q = - (3. ¯ 3 p) + \frac{- 25}{- 0.3}

$q = - (3.\overline{3} p) + \frac{- 25}{- 0.3}$

解题步骤 3.3.3.1.7

将

3. ¯ 3

$3.\overline{3}$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

q = - 3. ¯ 3 p + \frac{- 25}{- 0.3}

$q = - 3.\overline{3} p + \frac{- 25}{- 0.3}$

解题步骤 3.3.3.1.8

用

- 25

$- 25$ 除以

- 0.3

$- 0.3$ 。

q = - 3. ¯ 3 p + 83. ¯ 3

$q = - 3.\overline{3} p + 83.\overline{3}$

q = - 3. ¯ 3 p + 83. ¯ 3

$q = - 3.\overline{3} p + 83.\overline{3}$

q = - 3. ¯ 3 p + 83. ¯ 3

$q = - 3.\overline{3} p + 83.\overline{3}$

q = - 3. ¯ 3 p + 83. ¯ 3

$q = - 3.\overline{3} p + 83.\overline{3}$

q = - 3. ¯ 3 p + 83. ¯ 3

$q = - 3.\overline{3} p + 83.\overline{3}$

解题步骤 4

通过对需求函数求微分来求

\frac{d q}{d p}

$\frac{d q}{d p}$ 。

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解题步骤 4.1

对需求函数求微分。

\frac{d q}{d p} = \frac{d}{d p} [- 3. ¯ 3 p + 83. ¯ 3]

$\frac{d q}{d p} = \frac{d}{d p} [- 3.\overline{3} p + 83.\overline{3}]$

解题步骤 4.2

根据加法法则，

- 3. ¯ 3 p + 83. ¯ 3

$- 3.\overline{3} p + 83.\overline{3}$ 对

p

$p$ 的导数是

\frac{d}{d p} [- 3. ¯ 3 p] + \frac{d}{d p} [83. ¯ 3]

$\frac{d}{d p} [- 3.\overline{3} p] + \frac{d}{d p} [83.\overline{3}]$ 。

\frac{d q}{d p} = \frac{d}{d p} [- 3. ¯ 3 p] + \frac{d}{d p} [83. ¯ 3]

$\frac{d q}{d p} = \frac{d}{d p} [- 3.\overline{3} p] + \frac{d}{d p} [83.\overline{3}]$

解题步骤 4.3

计算

\frac{d}{d p} [- 3. ¯ 3 p]

$\frac{d}{d p} [- 3.\overline{3} p]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为

- 3. ¯ 3

$- 3.\overline{3}$ 对于

p

$p$ 是常数，所以

- 3. ¯ 3 p

$- 3.\overline{3} p$ 对

p

$p$ 的导数是

- 3. ¯ 3 \frac{d}{d p} [p]

$- 3.\overline{3} \frac{d}{d p} [p]$ 。

\frac{d q}{d p} = - 3. ¯ 3 \frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [83. ¯ 3]

$\frac{d q}{d p} = - 3.\overline{3} \frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [83.\overline{3}]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d p} [p^{n}]

$\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于

n p^{n - 1}

$n p^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\frac{d q}{d p} = - 3. ¯ 3 \cdot 1 + \frac{d}{d p} [83. ¯ 3]

$\frac{d q}{d p} = - 3.\overline{3} \cdot 1 + \frac{d}{d p} [83.\overline{3}]$

解题步骤 4.3.3

将

- 3. ¯ 3

$- 3.\overline{3}$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{d q}{d p} = - 3. ¯ 3 + \frac{d}{d p} [83. ¯ 3]

$\frac{d q}{d p} = - 3.\overline{3} + \frac{d}{d p} [83.\overline{3}]$

\frac{d q}{d p} = - 3. ¯ 3 + \frac{d}{d p} [83. ¯ 3]

$\frac{d q}{d p} = - 3.\overline{3} + \frac{d}{d p} [83.\overline{3}]$

解题步骤 4.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.4.1

因为

83. ¯ 3

$83.\overline{3}$ 对于

p

$p$ 是常数，所以

83. ¯ 3

$83.\overline{3}$ 对

p

$p$ 的导数为

0

$0$ 。

\frac{d q}{d p} = - 3. ¯ 3 + 0

$\frac{d q}{d p} = - 3.\overline{3} + 0$

解题步骤 4.4.2

将

- 3. ¯ 3

$- 3.\overline{3}$ 和

0

$0$ 相加。

\frac{d q}{d p} = - 3. ¯ 3

$\frac{d q}{d p} = - 3.\overline{3}$

\frac{d q}{d p} = - 3. ¯ 3

$\frac{d q}{d p} = - 3.\overline{3}$

\frac{d q}{d p} = - 3. ¯ 3

$\frac{d q}{d p} = - 3.\overline{3}$

解题步骤 5

代入弹性公式

E = ∣ ∣ ∣ \frac{p}{q} \frac{d q}{d p} ∣ ∣ ∣

$E = | \frac{p}{q} \frac{d q}{d p} |$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入

- 3. ¯ 3

$- 3.\overline{3}$ 替换

\frac{d q}{d p}

$\frac{d q}{d p}$ 。

E = ∣ ∣ ∣ \frac{p}{q} \cdot - 3. ¯ 3 ∣ ∣ ∣

$E = | \frac{p}{q} \cdot - 3.\overline{3} |$

解题步骤 5.2

代入

p

$p$ 和

q

$q$ 的值。

E \approx ∣ ∣ ∣ \frac{10}{50} \cdot - 3. ¯ 3 ∣ ∣ ∣

$E \approx | \frac{10}{50} \cdot - 3.\overline{3} |$

解题步骤 5.3

约去

10

$10$ 和

50

$50$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

从

10

$10$ 中分解出因数

10

$10$ 。

E \approx ∣ ∣ ∣ \frac{10 (1)}{50} \cdot - 3. ¯ 3 ∣ ∣ ∣

$E \approx | \frac{10 (1)}{50} \cdot - 3.\overline{3} |$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1

从

50

$50$ 中分解出因数

10

$10$ 。

E \approx ∣ ∣ ∣ \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 5} \cdot - 3. ¯ 3 ∣ ∣ ∣

$E \approx | \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 5} \cdot - 3.\overline{3} |$

解题步骤 5.3.2.2

约去公因数。

E \approx ∣ ∣ ∣ \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 5} \cdot - 3. ¯ 3 ∣ ∣ ∣

$E \approx | \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 5} \cdot - 3.\overline{3} |$

解题步骤 5.3.2.3

重写表达式。

E \approx ∣ ∣ ∣ \frac{1}{5} \cdot - 3. ¯ 3 ∣ ∣ ∣

$E \approx | \frac{1}{5} \cdot - 3.\overline{3} |$

E \approx ∣ ∣ ∣ \frac{1}{5} \cdot - 3. ¯ 3 ∣ ∣ ∣

$E \approx | \frac{1}{5} \cdot - 3.\overline{3} |$

E \approx ∣ ∣ ∣ \frac{1}{5} \cdot - 3. ¯ 3 ∣ ∣ ∣

$E \approx | \frac{1}{5} \cdot - 3.\overline{3} |$

解题步骤 5.4

组合

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ 和

- 3. ¯ 3

$- 3.\overline{3}$ 。

E \approx ∣ ∣ ∣ \frac{- 3. ¯ 3}{5} ∣ ∣ ∣

$E \approx | \frac{- 3.\overline{3}}{5} |$

解题步骤 5.5

用

- 3. ¯ 3

$- 3.\overline{3}$ 除以

5

$5$ 。

E \approx ∣ ∣ - 0. ¯ 6 ∣ ∣

$E \approx | - 0.\overline{6} |$

解题步骤 5.6

绝对值就是一个数和零之间的距离。

- 0. ¯ 6

$- 0.\overline{6}$ 和

0

$0$ 之间的距离为

0. ¯ 6

$0.\overline{6}$ 。

E \approx 0.66666666

$E \approx 0.66666666$

E \approx 0.66666666

$E \approx 0.66666666$

解题步骤 6

由于

E < 1

$E < 1$ ，需求是非弹性的。

E \approx 0.66666666

$E \approx 0.66666666$

Inelastic

$Inelastic$

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⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x^{2} & \frac{1}{2} \sqrt{π} & \int x d x \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$