微积分学示例

$y = x^{2} - 2 x$ , $y = x$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = x$ 和 $g (x) = x^{2} - 2 x$ 时， $V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(x^{2} - 2 x)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x)$ 。

$V = x^{2} - ((x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x))$

解题步骤 2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$V = x^{2} - (x^{2} (x^{2} - 2 x) - 2 x (x^{2} - 2 x))$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$V = x^{2} - (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x (x^{2} - 2 x))$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

$V = x^{2} - (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

解题步骤 2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = x^{2} - (x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

解题步骤 2.1.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$V = x^{2} - (x^{4} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

解题步骤 2.1.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{2} x - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

解题步骤 2.1.3.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

解题步骤 2.1.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

解题步骤 2.1.3.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{1 + 2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

解题步骤 2.1.3.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

解题步骤 2.1.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x))$

解题步骤 2.1.3.1.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x))$

解题步骤 2.1.3.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x))$

解题步骤 2.1.3.1.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x))$

解题步骤 2.1.3.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 x \cdot x))$

解题步骤 2.1.3.1.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.6.1

移动 $x$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)))$

解题步骤 2.1.3.1.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 x^{2}))$

解题步骤 2.1.3.1.7

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x^{2})$

解题步骤 2.1.3.2

从 $- 2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2})$

解题步骤 2.1.4

运用分配律。

$V = x^{2} - x^{4} - (- 4 x^{3}) - (4 x^{2})$

解题步骤 2.1.5

化简。

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解题步骤 2.1.5.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{2} - x^{4} + 4 x^{3} - (4 x^{2})$

解题步骤 2.1.5.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$V = x^{2} - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$

解题步骤 2.2

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$V = - x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2}$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{0}^{3} - x^{4} d x + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$V = π (- \int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$V = π (- (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

解题步骤 7

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

解题步骤 10

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 \int_{0}^{3} x^{2} d x)$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}))$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

解题步骤 12.2

代入并化简。

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解题步骤 12.2.1

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (- ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

解题步骤 12.2.2

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

解题步骤 12.2.3

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $3$ 处和在 $0$ 处的值。

$V = π (- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4

化简。

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解题步骤 12.2.4.1

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.3

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.4.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.4.3.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.3.2.2

约去公因数。

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.3.2.3

重写表达式。

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (- (\frac{243}{5} - 0) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (- (\frac{243}{5} + 0) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.5

将 $\frac{243}{5}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.6

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.8

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.4.8.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.4.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.8.2.2

约去公因数。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.8.2.3

重写表达式。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.8.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - 0) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.9

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} + 0) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.10

将 $\frac{81}{4}$ 和 $0$ 相加。

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.11

组合 $4$ 和 $\frac{81}{4}$ 。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.12

将 $4$ 乘以 $81$ 。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{324}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.13

约去 $324$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.4.13.1

从 $324$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.13.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.4.13.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4 (1)} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.13.2.2

约去公因数。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 1} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.13.2.3

重写表达式。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{81}{1} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.13.2.4

用 $81$ 除以 $1$ 。

$V = π (- \frac{243}{5} + 81 - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.14

要将 $81$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (- \frac{243}{5} + 81 \cdot \frac{5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.15

组合 $81$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{81 \cdot 5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.16

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{- 243 + 81 \cdot 5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.17

化简分子。

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解题步骤 12.2.4.17.1

将 $81$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{- 243 + 405}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.17.2

将 $- 243$ 和 $405$ 相加。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.18

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.19

约去 $27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.4.19.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.19.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.4.19.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.19.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.19.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.19.2.4

用 $9$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.20

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{3}))$

解题步骤 12.2.4.21

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.4.21.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 (0)}{3}))$

解题步骤 12.2.4.21.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.4.21.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 12.2.4.21.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 12.2.4.21.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{1}))$

解题步骤 12.2.4.21.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - 0))$

解题步骤 12.2.4.22

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 + 0))$

解题步骤 12.2.4.23

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$V = π (\frac{162}{5} - 3 \cdot 9)$

解题步骤 12.2.4.24

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$V = π (\frac{162}{5} - 27)$

解题步骤 12.2.4.25

要将 $- 27$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{162}{5} - 27 \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 12.2.4.26

组合 $- 27$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 27 \cdot 5}{5})$

解题步骤 12.2.4.27

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{162 - 27 \cdot 5}{5})$

解题步骤 12.2.4.28

化简分子。

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解题步骤 12.2.4.28.1

将 $- 27$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{162 - 135}{5})$

解题步骤 12.2.4.28.2

从 $162$ 中减去 $135$ 。

$V = π (\frac{27}{5})$

解题步骤 12.2.4.29

组合 $π$ 和 $\frac{27}{5}$ 。

$V = \frac{π \cdot 27}{5}$

解题步骤 12.2.4.30

将 $27$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{27 π}{5}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{27 π}{5}$

小数形式：

$V = 16.96460032 \dots$

解题步骤 14

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微积分学 示例

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