微积分学示例

y = - 7 x^{2} + 21 x

$y = - 7 x^{2} + 21 x$ ,

y = 3 x

$y = 3 x$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为

f (x)

$f (x)$ 和

A = π r^{2}

$A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当

f (x) = - 7 x^{2} + 21 x

$f (x) = - 7 x^{2} + 21 x$ 和

g (x) = 3 x

$g (x) = 3 x$ 时，

V = π \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x

$V = π \int_{0}^{2.\overline{571428}} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将

{(- 7 x^{2} + 21 x)}^{2}

${(- 7 x^{2} + 21 x)}^{2}$ 重写为

(- 7 x^{2} + 21 x) (- 7 x^{2} + 21 x)

$(- 7 x^{2} + 21 x) (- 7 x^{2} + 21 x)$ 。

V = (- 7 x^{2} + 21 x) (- 7 x^{2} + 21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = (- 7 x^{2} + 21 x) (- 7 x^{2} + 21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

使用 FOIL 方法展开

(- 7 x^{2} + 21 x) (- 7 x^{2} + 21 x)

$(- 7 x^{2} + 21 x) (- 7 x^{2} + 21 x)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

V = - 7 x^{2} (- 7 x^{2} + 21 x) + 21 x (- 7 x^{2} + 21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = - 7 x^{2} (- 7 x^{2} + 21 x) + 21 x (- 7 x^{2} + 21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

V = - 7 x^{2} (- 7 x^{2}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2} + 21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = - 7 x^{2} (- 7 x^{2}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2} + 21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

V = - 7 x^{2} (- 7 x^{2}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = - 7 x^{2} (- 7 x^{2}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

V = - 7 x^{2} (- 7 x^{2}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = - 7 x^{2} (- 7 x^{2}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

V = - 7 \cdot (- 7 x^{2} x^{2}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = - 7 \cdot (- 7 x^{2} x^{2}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.2

通过指数相加将

x^{2}

$x^{2}$ 乘以

x^{2}

$x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.2.1

移动

x^{2}

$x^{2}$ 。

V = - 7 \cdot (- 7 (x^{2} x^{2})) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = - 7 \cdot (- 7 (x^{2} x^{2})) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.2.2

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

V = - 7 \cdot (- 7 x^{2 + 2}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = - 7 \cdot (- 7 x^{2 + 2}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.2.3

将

2

$2$ 和

2

$2$ 相加。

V = - 7 \cdot (- 7 x^{4}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = - 7 \cdot (- 7 x^{4}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

V = - 7 \cdot (- 7 x^{4}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = - 7 \cdot (- 7 x^{4}) - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.3

将

- 7

$- 7$ 乘以

- 7

$- 7$ 。

V = 49 x^{4} - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 7 x^{2} (21 x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 x^{2} x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 x^{2} x) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.5

通过指数相加将

x^{2}

$x^{2}$ 乘以

x

$x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.5.1

移动

x

$x$ 。

V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 (x \cdot x^{2})) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 (x \cdot x^{2})) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.5.2

将

x

$x$ 乘以

x^{2}

$x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.5.2.1

对

x

$x$ 进行

1

$1$ 次方运算。

V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 (x \cdot x^{2})) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 (x \cdot x^{2})) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.5.2.2

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 x^{1 + 2}) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 x^{1 + 2}) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 x^{1 + 2}) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 x^{1 + 2}) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.5.3

将

1

$1$ 和

2

$2$ 相加。

V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 x^{3}) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 x^{3}) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 x^{3}) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 7 \cdot (21 x^{3}) + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.6

将

- 7

$- 7$ 乘以

21

$21$ 。

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 x (- 7 x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.7

使用乘法的交换性质重写。

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 x \cdot x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 x \cdot x^{2}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.8

通过指数相加将

x

$x$ 乘以

x^{2}

$x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.8.1

移动

x^{2}

$x^{2}$ 。

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 (x^{2} x)) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 (x^{2} x)) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.8.2

将

x^{2}

$x^{2}$ 乘以

x

$x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.8.2.1

对

x

$x$ 进行

1

$1$ 次方运算。

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 (x^{2} x)) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 (x^{2} x)) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.8.2.2

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 x^{2 + 1}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 x^{2 + 1}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 x^{2 + 1}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 x^{2 + 1}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.8.3

将

2

$2$ 和

1

$1$ 相加。

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 x^{3}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 x^{3}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 x^{3}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} + 21 \cdot (- 7 x^{3}) + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.9

将

21

$21$ 乘以

- 7

$- 7$ 。

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 21 x (21 x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.10

使用乘法的交换性质重写。

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 21 \cdot (21 x \cdot x) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 21 \cdot (21 x \cdot x) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.11

通过指数相加将

x

$x$ 乘以

x

$x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.11.1

移动

x

$x$ 。

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 21 \cdot (21 (x \cdot x)) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 21 \cdot (21 (x \cdot x)) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.11.2

将

x

$x$ 乘以

x

$x$ 。

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 21 \cdot (21 x^{2}) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 21 \cdot (21 x^{2}) - {(3 x)}^{2}$

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 21 \cdot (21 x^{2}) - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 21 \cdot (21 x^{2}) - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.12

将

21

$21$ 乘以

21

$21$ 。

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 441 x^{2} - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 441 x^{2} - {(3 x)}^{2}$

V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 441 x^{2} - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 147 x^{3} - 147 x^{3} + 441 x^{2} - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.2

从

- 147 x^{3}

$- 147 x^{3}$ 中减去

147 x^{3}

$147 x^{3}$ 。

V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 441 x^{2} - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 441 x^{2} - {(3 x)}^{2}$

V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 441 x^{2} - {(3 x)}^{2}

$V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 441 x^{2} - {(3 x)}^{2}$

解题步骤 2.1.4

对

3 x

$3 x$ 运用乘积法则。

V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 441 x^{2} - (3^{2} x^{2})

$V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 441 x^{2} - (3^{2} x^{2})$

解题步骤 2.1.5

对

3

$3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 441 x^{2} - (9 x^{2})

$V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 441 x^{2} - (9 x^{2})$

解题步骤 2.1.6

将

9

$9$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 441 x^{2} - 9 x^{2}

$V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 441 x^{2} - 9 x^{2}$

V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 441 x^{2} - 9 x^{2}

$V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 441 x^{2} - 9 x^{2}$

解题步骤 2.2

从

441 x^{2}

$441 x^{2}$ 中减去

9 x^{2}

$9 x^{2}$ 。

V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 432 x^{2}

$V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 432 x^{2}$

V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 432 x^{2}

$V = 49 x^{4} - 294 x^{3} + 432 x^{2}$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

V = π (\int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} 49 x^{4} d x + \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} - 294 x^{3} d x + \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} 432 x^{2} d x)

$V = π (\int_{0}^{2.\overline{571428}} 49 x^{4} d x + \int_{0}^{2.\overline{571428}} - 294 x^{3} d x + \int_{0}^{2.\overline{571428}} 432 x^{2} d x)$

解题步骤 4

由于

49

$49$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

49

$49$ 移到积分外。

V = π (49 \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} x^{4} d x + \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} - 294 x^{3} d x + \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} 432 x^{2} d x)

$V = π (49 \int_{0}^{2.\overline{571428}} x^{4} d x + \int_{0}^{2.\overline{571428}} - 294 x^{3} d x + \int_{0}^{2.\overline{571428}} 432 x^{2} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则，

x^{4}

$x^{4}$ 对

x

$x$ 的积分是

\frac{1}{5} x^{5}

$\frac{1}{5} x^{5}$ 。

V = π (49 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) + \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} - 294 x^{3} d x + \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} 432 x^{2} d x)

$V = π (49 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2.\overline{571428}}) + \int_{0}^{2.\overline{571428}} - 294 x^{3} d x + \int_{0}^{2.\overline{571428}} 432 x^{2} d x)$

解题步骤 6

组合

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ 和

x^{5}

$x^{5}$ 。

V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) + \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} - 294 x^{3} d x + \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} 432 x^{2} d x)

$V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2.\overline{571428}}) + \int_{0}^{2.\overline{571428}} - 294 x^{3} d x + \int_{0}^{2.\overline{571428}} 432 x^{2} d x)$

解题步骤 7

由于

- 294

$- 294$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

- 294

$- 294$ 移到积分外。

V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) - 294 \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} x^{3} d x + \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} 432 x^{2} d x)

$V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2.\overline{571428}}) - 294 \int_{0}^{2.\overline{571428}} x^{3} d x + \int_{0}^{2.\overline{571428}} 432 x^{2} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则，

x^{3}

$x^{3}$ 对

x

$x$ 的积分是

\frac{1}{4} x^{4}

$\frac{1}{4} x^{4}$ 。

V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) - 294 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) + \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} 432 x^{2} d x)

$V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2.\overline{571428}}) - 294 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2.\overline{571428}}) + \int_{0}^{2.\overline{571428}} 432 x^{2} d x)$

解题步骤 9

组合

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ 和

x^{4}

$x^{4}$ 。

V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) - 294 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) + \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} 432 x^{2} d x)

$V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2.\overline{571428}}) - 294 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2.\overline{571428}}) + \int_{0}^{2.\overline{571428}} 432 x^{2} d x)$

解题步骤 10

由于

432

$432$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

432

$432$ 移到积分外。

V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) - 294 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) + 432 \int_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428} x^{2} d x)

$V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2.\overline{571428}}) - 294 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2.\overline{571428}}) + 432 \int_{0}^{2.\overline{571428}} x^{2} d x)$

解题步骤 11

根据幂法则，

x^{2}

$x^{2}$ 对

x

$x$ 的积分是

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ 。

V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) - 294 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) + 432 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}))

$V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2.\overline{571428}}) - 294 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2.\overline{571428}}) + 432 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2.\overline{571428}}))$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 和

x^{3}

$x^{3}$ 。

V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) - 294 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) + 432 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}))

$V = π (49 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2.\overline{571428}}) - 294 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2.\overline{571428}}) + 432 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2.\overline{571428}}))$

解题步骤 12.2

代入并化简。

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解题步骤 12.2.1

计算

\frac{x^{5}}{5}

$\frac{x^{5}}{5}$ 在

2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428

$2.\overline{571428}$ 处和在

0

$0$ 处的值。

V = π (49 ((\frac{{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) - 294 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}) + 432 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}))

$V = π (49 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) - 294 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2.\overline{571428}}) + 432 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2.\overline{571428}}))$

解题步骤 12.2.2

计算

\frac{x^{4}}{4}

$\frac{x^{4}}{4}$ 在

2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428

$2.\overline{571428}$ 处和在

0

$0$ 处的值。

V = π (49 (\frac{{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) - 294 (\frac{{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}))

$V = π (49 (\frac{{2.\overline{571428}}^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) - 294 (\frac{{2.\overline{571428}}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2.\overline{571428}}))$

解题步骤 12.2.3

计算

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ 在

2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428

$2.\overline{571428}$ 处和在

0

$0$ 处的值。

V = π (49 (\frac{{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) - 294 (\frac{{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))

$V = π (49 (\frac{{2.\overline{571428}}^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) - 294 (\frac{{2.\overline{571428}}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4

化简。

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解题步骤 12.2.4.1

对

2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428

$2.\overline{571428}$ 进行

5

$5$ 次方运算。

V = π (49 (\frac{112.42744094}{5} - \frac{0^{5}}{5}) - 294 (\frac{{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))

$V = π (49 (\frac{112.42744094}{5} - \frac{0^{5}}{5}) - 294 (\frac{{2.\overline{571428}}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.2

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

V = π (49 (\frac{112.42744094}{5} - \frac{0}{5}) - 294 (\frac{{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2. ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 571428}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))

$V = π (49 (\frac{112.42744094}{5} - \frac{0}{5}) - 294 (\frac{{2.\overline{571428}}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.3

约去

$0$ 和

$5$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.4.3.1

从

$0$ 中分解出因数

$5$ 。

$V = π (49 (\frac{112.42744094}{5} - \frac{5 (0)}{5}) - 294 (\frac{{2.\overline{571428}}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.4.3.2.1

从

$5$ 中分解出因数

$5$ 。

$V = π (49 (\frac{112.42744094}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) - 294 (\frac{{2.\overline{571428}}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.3.2.2

约去公因数。

$V = π (49 (\frac{112.42744094}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) - 294 (\frac{{2.\overline{571428}}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.3.2.3

重写表达式。

$V = π (49 (\frac{112.42744094}{5} - \frac{0}{1}) - 294 (\frac{{2.\overline{571428}}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.3.2.4

用

$0$ 除以

$1$ 。

$V = π (49 (\frac{112.42744094}{5} - 0) - 294 (\frac{{2.\overline{571428}}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.4

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$V = π (49 (\frac{112.42744094}{5} + 0) - 294 (\frac{{2.\overline{571428}}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.5

将

$\frac{112.42744094}{5}$ 和

$0$ 相加。

$V = π (49 (\frac{112.42744094}{5}) - 294 (\frac{{2.\overline{571428}}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.6

组合

$49$ 和

$\frac{112.42744094}{5}$ 。

$V = π (\frac{49 \cdot 112.42744094}{5} - 294 (\frac{{2.\overline{571428}}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.7

将

$49$ 乘以

$112.42744094$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} - 294 (\frac{{2.\overline{571428}}^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.8

对

$2.\overline{571428}$ 进行

$4$ 次方运算。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} - 294 (\frac{43.72178259}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.9

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} - 294 (\frac{43.72178259}{4} - \frac{0}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.10

约去

$0$ 和

$4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.4.10.1

从

$0$ 中分解出因数

$4$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} - 294 (\frac{43.72178259}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.4.10.2.1

从

$4$ 中分解出因数

$4$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} - 294 (\frac{43.72178259}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.10.2.2

约去公因数。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} - 294 (\frac{43.72178259}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.10.2.3

重写表达式。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} - 294 (\frac{43.72178259}{4} - \frac{0}{1}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.10.2.4

用

$0$ 除以

$1$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} - 294 (\frac{43.72178259}{4} - 0) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.11

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} - 294 (\frac{43.72178259}{4} + 0) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.12

将

$\frac{43.72178259}{4}$ 和

$0$ 相加。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} - 294 (\frac{43.72178259}{4}) + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.13

组合

$- 294$ 和

$\frac{43.72178259}{4}$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} + \frac{- 294 \cdot 43.72178259}{4} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.14

将

$- 294$ 乘以

$43.72178259$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} + \frac{- 12854.20408163}{4} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.15

将负号移到分数的前面。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} - \frac{12854.20408163}{4} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.16

要将

$\frac{5508.94460641}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{4}{4}$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{12854.20408163}{4} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.17

要将

$- \frac{12854.20408163}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{12854.20408163}{4} \cdot \frac{5}{5} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.18

通过与

$1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母

$20$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.4.18.1

将

$\frac{5508.94460641}{5}$ 乘以

$\frac{4}{4}$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{12854.20408163}{4} \cdot \frac{5}{5} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.18.2

将

$5$ 乘以

$4$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641 \cdot 4}{20} - \frac{12854.20408163}{4} \cdot \frac{5}{5} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.18.3

将

$\frac{12854.20408163}{4}$ 乘以

$\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641 \cdot 4}{20} - \frac{12854.20408163 \cdot 5}{4 \cdot 5} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.18.4

将

$4$ 乘以

$5$ 。

$V = π (\frac{5508.94460641 \cdot 4}{20} - \frac{12854.20408163 \cdot 5}{20} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.19

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{5508.94460641 \cdot 4 - 12854.20408163 \cdot 5}{20} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.20

将

$5508.94460641$ 乘以

$4$ 。

$V = π (\frac{22035.77842565 - 12854.20408163 \cdot 5}{20} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.21

将

$- 12854.20408163$ 乘以

$5$ 。

$V = π (\frac{22035.77842565 - 64271.02040816}{20} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.22

从

$22035.77842565$ 中减去

$64271.02040816$ 。

$V = π (\frac{- 42235.2419825}{20} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.23

将负号移到分数的前面。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} + 432 ((\frac{{2.\overline{571428}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.24

对

$2.\overline{571428}$ 进行

$3$ 次方运算。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} + 432 (\frac{17.00291545}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 12.2.4.25

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} + 432 (\frac{17.00291545}{3} - \frac{0}{3}))$

解题步骤 12.2.4.26

约去

$0$ 和

$3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.4.26.1

从

$0$ 中分解出因数

$3$ 。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} + 432 (\frac{17.00291545}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

解题步骤 12.2.4.26.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.4.26.2.1

从

$3$ 中分解出因数

$3$ 。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} + 432 (\frac{17.00291545}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 12.2.4.26.2.2

约去公因数。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} + 432 (\frac{17.00291545}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 12.2.4.26.2.3

重写表达式。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} + 432 (\frac{17.00291545}{3} - \frac{0}{1}))$

解题步骤 12.2.4.26.2.4

用

$0$ 除以

$1$ 。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} + 432 (\frac{17.00291545}{3} - 0))$

解题步骤 12.2.4.27

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} + 432 (\frac{17.00291545}{3} + 0))$

解题步骤 12.2.4.28

将

$\frac{17.00291545}{3}$ 和

$0$ 相加。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} + 432 (\frac{17.00291545}{3}))$

解题步骤 12.2.4.29

组合

$432$ 和

$\frac{17.00291545}{3}$ 。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} + \frac{432 \cdot 17.00291545}{3})$

解题步骤 12.2.4.30

将

$432$ 乘以

$17.00291545$ 。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} + \frac{7345.25947521}{3})$

解题步骤 12.2.4.31

要将

$- \frac{42235.2419825}{20}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} \cdot \frac{3}{3} + \frac{7345.25947521}{3})$

解题步骤 12.2.4.32

要将

$\frac{7345.25947521}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{20}{20}$ 。

$V = π (- \frac{42235.2419825}{20} \cdot \frac{3}{3} + \frac{7345.25947521}{3} \cdot \frac{20}{20})$

解题步骤 12.2.4.33

通过与

$1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母

$60$ 的形式。

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解题步骤 12.2.4.33.1

将

$\frac{42235.2419825}{20}$ 乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$V = π (- \frac{42235.2419825 \cdot 3}{20 \cdot 3} + \frac{7345.25947521}{3} \cdot \frac{20}{20})$

解题步骤 12.2.4.33.2

将

$20$ 乘以

$3$ 。

$V = π (- \frac{42235.2419825 \cdot 3}{60} + \frac{7345.25947521}{3} \cdot \frac{20}{20})$

解题步骤 12.2.4.33.3

将

$\frac{7345.25947521}{3}$ 乘以

$\frac{20}{20}$ 。

$V = π (- \frac{42235.2419825 \cdot 3}{60} + \frac{7345.25947521 \cdot 20}{3 \cdot 20})$

解题步骤 12.2.4.33.4

将

$3$ 乘以

$20$ 。

$V = π (- \frac{42235.2419825 \cdot 3}{60} + \frac{7345.25947521 \cdot 20}{60})$

解题步骤 12.2.4.34

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{- 42235.2419825 \cdot 3 + 7345.25947521 \cdot 20}{60})$

解题步骤 12.2.4.35

将

$- 42235.2419825$ 乘以

$3$ 。

$V = π (\frac{- 126705.72594752 + 7345.25947521 \cdot 20}{60})$

解题步骤 12.2.4.36

将

$7345.25947521$ 乘以

$20$ 。

$V = π (\frac{- 126705.72594752 + 146905.18950437}{60})$

解题步骤 12.2.4.37

将

$- 126705.72594752$ 和

$146905.18950437$ 相加。

$V = π (\frac{20199.46355685}{60})$

解题步骤 12.2.4.38

组合

$π$ 和

$\frac{20199.46355685}{60}$ 。

$V = \frac{π \cdot 20199.46355685}{60}$

解题步骤 12.2.4.39

将

$π$ 乘以

$20199.46355685$ 。

$V = \frac{63458.48631665}{60}$

解题步骤 13

用

$63458.48631665$ 除以

$60$ 。

$V = 1057.64143861$

解题步骤 14

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微积分学 示例

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