微积分学示例

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

解题步骤 1

函数 $f$ 在特定区间 $[a, b]$ 上的均方根 (RMS) 是原始值平方的算术平均值（平均数）的平方根。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

解题步骤 2

将实际值代入公式中以求函数的均方根。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

解题步骤 3

计算积分。

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解题步骤 3.1

使 $u = 4 x - 2$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1.1

设 $u = 4 x - 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $4 x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

解题步骤 3.1.1.2

根据加法法则， $4 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 3.1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.1.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 3.1.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 3.1.2

将下限代入替换 $u = 4 x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

解题步骤 3.1.3

化简。

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解题步骤 3.1.3.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 4 - 2$

解题步骤 3.1.3.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 3.1.4

将上限代入替换 $u = 4 x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

解题步骤 3.1.5

化简。

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解题步骤 3.1.5.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$u_{upper} = 12 - 2$

解题步骤 3.1.5.2

从 $12$ 中减去 $2$ 。

$u_{upper} = 10$

解题步骤 3.1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

解题步骤 3.1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

解题步骤 3.2

组合 $u^{2}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

解题步骤 3.3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

解题步骤 3.4

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

解题步骤 3.5

代入并化简。

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解题步骤 3.5.1

计算 $\frac{1}{3} u^{3}$ 在 $10$ 处和在 $2$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

解题步骤 3.5.2

化简。

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解题步骤 3.5.2.1

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

解题步骤 3.5.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $1000$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

解题步骤 3.5.2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

解题步骤 3.5.2.4

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 3.5.2.5

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

解题步骤 3.5.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

解题步骤 3.5.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

解题步骤 3.5.2.8

从 $1000$ 中减去 $8$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

解题步骤 3.5.2.9

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{992}{3}$ 。

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.2.10

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{992}{12}$

解题步骤 3.5.2.11

约去 $992$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.11.1

从 $992$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (248)}{12}$

解题步骤 3.5.2.11.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.11.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.2.11.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.2.11.2.3

重写表达式。

$\frac{248}{3}$

解题步骤 4

化简均方根公式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{3 - 1}$ 乘以 $\frac{248}{3}$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

解题步骤 4.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 4.3

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{248}{2 \cdot 3}$ 。

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解题步骤 4.3.1

从 $248$ 中分解出因数 $2$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 4.3.2

从 $2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

解题步骤 4.4

将 $\sqrt{\frac{124}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ 。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将 $124$ 重写为 $2^{2} \cdot 31$ 。

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解题步骤 4.5.1.1

从 $124$ 中分解出因数 $4$ 。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.2

从根式下提出各项。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.6

将 $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 4.7.1

将 $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.7.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.6.4.1

约去公因数。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.7.6.4.2

重写表达式。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.7.6.5

计算指数。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.8

化简分子。

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解题步骤 4.8.1

使用根数乘积法则进行合并。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

解题步骤 4.8.2

将 $3$ 乘以 $31$ 。

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

小数形式：

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

解题步骤 6

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