微积分学示例

y = 5 x + 5

$y = 5 x + 5$ ,

[- 1, 1]

$[- 1, 1]$

解题步骤 1

函数

f

$f$ 在特定区间

[a, b]

$[a, b]$ 上的均方根 (RMS) 是原始值平方的算术平均值（平均数）的平方根。

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

解题步骤 2

将实际值代入公式中以求函数的均方根。

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(5 x + 5)}^{2} d x)}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(5 x + 5)}^{2} d x)}$

解题步骤 3

计算积分。

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解题步骤 3.1

使

u = 5 x + 5

$u = 5 x + 5$ 。然后使

d u = 5 d x

$d u = 5 d x$ ，以便

\frac{1}{5} d u = d x

$\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用

u

$u$ 和

d

$d$

u

$u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1.1

设

u = 5 x + 5

$u = 5 x + 5$ 。求

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

对

5 x + 5

$5 x + 5$ 求导。

\frac{d}{d x} [5 x + 5]

$\frac{d}{d x} [5 x + 5]$

解题步骤 3.1.1.2

根据加法法则，

5 x + 5

$5 x + 5$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.1.1.3

计算

\frac{d}{d x} [5 x]

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 3.1.1.3.1

因为

5

$5$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

5 x

$5 x$ 对

x

$x$ 的导数是

5 \frac{d}{d x} [x]

$5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.1.1.3.3

将

5

$5$ 乘以

1

$1$ 。

5 + \frac{d}{d x} [5]

$5 + \frac{d}{d x} [5]$

5 + \frac{d}{d x} [5]

$5 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.1.4.1

因为

5

$5$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

5

$5$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

5 + 0

$5 + 0$

解题步骤 3.1.1.4.2

将

5

$5$ 和

0

$0$ 相加。

5

$5$

5

$5$

5

$5$

解题步骤 3.1.2

将下限代入替换

u = 5 x + 5

$u = 5 x + 5$ 中的

x

$x$ 。

u_{lower} = 5 \cdot - 1 + 5

$u_{lower} = 5 \cdot - 1 + 5$

解题步骤 3.1.3

化简。

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解题步骤 3.1.3.1

将

5

$5$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

u_{lower} = - 5 + 5

$u_{lower} = - 5 + 5$

解题步骤 3.1.3.2

将

- 5

$- 5$ 和

5

$5$ 相加。

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.1.4

将上限代入替换

u = 5 x + 5

$u = 5 x + 5$ 中的

x

$x$ 。

u_{upper} = 5 \cdot 1 + 5

$u_{upper} = 5 \cdot 1 + 5$

解题步骤 3.1.5

化简。

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解题步骤 3.1.5.1

将

5

$5$ 乘以

1

$1$ 。

u_{upper} = 5 + 5

$u_{upper} = 5 + 5$

解题步骤 3.1.5.2

将

5

$5$ 和

5

$5$ 相加。

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

解题步骤 3.1.6

求得的

u_{lower}

$u_{lower}$ 和

u_{upper}

$u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = 10

$u_{upper} = 10$

解题步骤 3.1.7

使用

u

$u$ 、

d u

$d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

\int_{0}^{10} u^{2} \frac{1}{5} d u

$\int_{0}^{10} u^{2} \frac{1}{5} d u$

\int_{0}^{10} u^{2} \frac{1}{5} d u

$\int_{0}^{10} u^{2} \frac{1}{5} d u$

解题步骤 3.2

组合

u^{2}

$u^{2}$ 和

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ 。

\int_{0}^{10} \frac{u^{2}}{5} d u

$\int_{0}^{10} \frac{u^{2}}{5} d u$

解题步骤 3.3

由于

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ 对于

u

$u$ 是常数，所以将

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ 移到积分外。

\frac{1}{5} \int_{0}^{10} u^{2} d u

$\frac{1}{5} \int_{0}^{10} u^{2} d u$

解题步骤 3.4

根据幂法则，

u^{2}

$u^{2}$ 对

u

$u$ 的积分是

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ 。

\frac{1}{5} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{10}

$\frac{1}{5} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{10}$

解题步骤 3.5

代入并化简。

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解题步骤 3.5.1

计算

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ 在

10

$10$ 处和在

0

$0$ 处的值。

\frac{1}{5} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 3.5.2

化简。

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解题步骤 3.5.2.1

对

10

$10$ 进行

3

$3$ 次方运算。

\frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 3.5.2.2

组合

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 和

1000

$1000$ 。

\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 3.5.2.3

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

解题步骤 3.5.2.4

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0 (\frac{1}{3}))

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 3.5.2.5

将

0

$0$ 乘以

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 。

\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0)

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0)$

解题步骤 3.5.2.6

将

\frac{1000}{3}

$\frac{1000}{3}$ 和

0

$0$ 相加。

\frac{1}{5} \cdot \frac{1000}{3}

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1000}{3}$

解题步骤 3.5.2.7

将

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ 乘以

\frac{1000}{3}

$\frac{1000}{3}$ 。

\frac{1000}{5 \cdot 3}

$\frac{1000}{5 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.2.8

将

5

$5$ 乘以

3

$3$ 。

\frac{1000}{15}

$\frac{1000}{15}$

解题步骤 3.5.2.9

约去

1000

$1000$ 和

15

$15$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.9.1

从

1000

$1000$ 中分解出因数

5

$5$ 。

\frac{5 (200)}{15}

$\frac{5 (200)}{15}$

解题步骤 3.5.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.9.2.1

从

15

$15$ 中分解出因数

5

$5$ 。

\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.2.9.2.2

约去公因数。

\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.2.9.2.3

重写表达式。

\frac{200}{3}

$\frac{200}{3}$

\frac{200}{3}

$\frac{200}{3}$

\frac{200}{3}

$\frac{200}{3}$

\frac{200}{3}

$\frac{200}{3}$

\frac{200}{3}

$\frac{200}{3}$

\frac{200}{3}

$\frac{200}{3}$

解题步骤 4

化简均方根公式。

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解题步骤 4.1

将

\frac{1}{1 + 1}

$\frac{1}{1 + 1}$ 乘以

\frac{200}{3}

$\frac{200}{3}$ 。

f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{(1 + 1) \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{(1 + 1) \cdot 3}}$

解题步骤 4.2

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{2 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 4.3

通过约去公因数来化简表达式

\frac{200}{2 \cdot 3}

$\frac{200}{2 \cdot 3}$ 。

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解题步骤 4.3.1

从

200

$200$ 中分解出因数

2

$2$ 。

f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 4.3.2

从

2 \cdot 3

$2 \cdot 3$ 中分解出因数

2

$2$ 。

f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 (3)}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 (3)}}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

f_{rms} = \sqrt{\frac{100}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{100}{3}}$

f_{rms} = \sqrt{\frac{100}{3}}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{100}{3}}$

解题步骤 4.4

将

\sqrt{\frac{100}{3}}

$\sqrt{\frac{100}{3}}$ 重写为

\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$ 。

f_{rms} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将

100

$100$ 重写为

10^{2}

$10^{2}$ 。

f_{rms} = \frac{\sqrt{10^{2}}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{\sqrt{10^{2}}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.6

将

\frac{10}{\sqrt{3}}

$\frac{10}{\sqrt{3}}$ 乘以

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 4.7.1

将

\frac{10}{\sqrt{3}}

$\frac{10}{\sqrt{3}}$ 乘以

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.2

对

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.3

对

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 进行

1

$1$ 次方运算。

f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.7.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.7.6

将

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

3

$3$ 。

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解题步骤 4.7.6.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 重写成

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.7.6.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.7.6.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.6.4.1

约去公因数。

f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.7.6.4.2

重写表达式。

f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}