微积分学示例

$y = x - 2$ ,

$(2, 7)$

解题步骤 1

函数

$f$ 在特定区间

$[a, b]$ 上的均方根 (RMS) 是原始值平方的算术平均值（平均数）的平方根。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

解题步骤 2

将实际值代入公式中以求函数的均方根。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}$

解题步骤 3

计算积分。

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解题步骤 3.1

使

$u = x - 2$ 。然后使

$d u = d x$ 。使用

$u$ 和

$d$

$u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1.1

设

$u = x - 2$ 。求

$\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

对

$x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 3.1.1.2

根据加法法则，

$x - 2$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.1.1.4

因为

$- 2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 2$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.1.5

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.1.2

将下限代入替换

$u = x - 2$ 中的

$x$ 。

$u_{lower} = 2 - 2$

解题步骤 3.1.3

从

$2$ 中减去

$2$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.1.4

将上限代入替换

$u = x - 2$ 中的

$x$ 。

$u_{upper} = 7 - 2$

解题步骤 3.1.5

从

$7$ 中减去

$2$ 。

$u_{upper} = 5$

解题步骤 3.1.6

求得的

$u_{lower}$ 和

$u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

解题步骤 3.1.7

使用

$u$ 、

$d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

解题步骤 3.2

根据幂法则，

$u^{2}$ 对

$u$ 的积分是

$\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}$

解题步骤 3.3

代入并化简。

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解题步骤 3.3.1

计算

$\frac{1}{3} u^{3}$ 在

$5$ 处和在

$0$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简。

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解题步骤 3.3.2.1

对

$5$ 进行

$3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2

组合

$\frac{1}{3}$ 和

$125$ 。

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.3

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

解题步骤 3.3.2.4

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

解题步骤 3.3.2.5

将

$0$ 乘以

$\frac{1}{3}$ 。

$\frac{125}{3} + 0$

解题步骤 3.3.2.6

将

$\frac{125}{3}$ 和

$0$ 相加。

$\frac{125}{3}$

解题步骤 4

化简均方根公式。

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解题步骤 4.1

将

$\frac{1}{7 - 2}$ 乘以

$\frac{125}{3}$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}$

解题步骤 4.2

从

$7$ 中减去

$2$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}$

解题步骤 4.3

通过约去公因数来化简表达式

$\frac{125}{5 \cdot 3}$ 。

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解题步骤 4.3.1

从

$125$ 中分解出因数

$5$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

解题步骤 4.3.2

从

$5 \cdot 3$ 中分解出因数

$5$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

解题步骤 4.4

将

$\sqrt{\frac{25}{3}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ 。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将

$25$ 重写为

$5^{2}$ 。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.6

将

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 4.7.1

将

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.2

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.3

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.7.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.7.6

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 4.7.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.7.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.7.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.6.4.1

约去公因数。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.7.6.4.2

重写表达式。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.7.6.5

计算指数。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

小数形式：

$f_{rms} = 2.88675134 \dots$

解题步骤 6

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