微积分学示例

f (x) = 3 x - 6

$f (x) = 3 x - 6$ ,

(0, 4)

$(0, 4)$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

{x | x \in R}

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

f (x)

$f (x)$ 在

[0, 4]

$[0, 4]$ 上连续。

f (x)

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数

f

$f$ 在区间

[a, b]

$[a, b]$ 上的平均值定义为

A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 3 x - 6 d x)

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 3 x - 6 d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 3 x d x + \int_{0}^{4} - 6 d x)

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 3 x d x + \int_{0}^{4} - 6 d x)$

解题步骤 6

由于

3

$3$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

3

$3$ 移到积分外。

A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} - 6 d x)

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} - 6 d x)$

解题步骤 7

根据幂法则，

x

$x$ 对

x

$x$ 的积分是

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ 。

A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 6 d x)

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 6 d x)$

解题步骤 8

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

x^{2}

$x^{2}$ 。

A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 6 d x)

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 6 d x)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + - 6 x]_{0}^{4})

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + - 6 x]_{0}^{4})$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$ 在

4

$4$ 处和在

0

$0$ 处的值。

A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 6 x]_{0}^{4})

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 6 x]_{0}^{4})$

解题步骤 10.2

计算

- 6 x

$- 6 x$ 在

4

$4$ 处和在

0

$0$ 处的值。

A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

对

4

$4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.2

约去

16

$16$ 和

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.1

从

16

$16$ 中分解出因数

2

$2$ 。

A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.2.2.1

从

2

$2$ 中分解出因数

2

$2$ 。

A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.2.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.2.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.2.2.4

用

$8$ 除以

$1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.3

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{0}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.4

约去

$0$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.4.1

从

$0$ 中分解出因数

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.4.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.4.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.4.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{0}{1}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.4.2.4

用

$0$ 除以

$1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - 0) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.5

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 + 0) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.6

将

$8$ 和

$0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 \cdot 8 - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.7

将

$3$ 乘以

$8$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (24 - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.8

将

$- 6$ 乘以

$4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (24 - 24 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.9

将

$6$ 乘以

$0$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (24 - 24 + 0)$

解题步骤 10.3.10

将

$- 24$ 和

$0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (24 - 24)$

解题步骤 10.3.11

从

$24$ 中减去

$24$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (0)$

解题步骤 11

化简分母。

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解题步骤 11.1

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot 0$

解题步骤 11.2

将

$4$ 和

$0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

解题步骤 12

将

$\frac{1}{4}$ 乘以

$0$ 。

$A (x) = 0$

解题步骤 13

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