微积分学示例

f (x) = 8 x - 6

$f (x) = 8 x - 6$ ,

[0, 3]

$[0, 3]$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在

$[0, 3]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数

$f$ 在区间

$[a, b]$ 上的平均值定义为

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} 8 x - 6 d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\int_{0}^{3} 8 x d x + \int_{0}^{3} - 6 d x)$

解题步骤 6

由于

$8$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$8$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - 6 d x)$

解题步骤 7

根据幂法则，

$x$ 对

$x$ 的积分是

$\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 6 d x)$

解题步骤 8

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 6 d x)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + - 6 x]_{0}^{3})$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算

$\frac{x^{2}}{2}$ 在

$3$ 处和在

$0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 6 x]_{0}^{3})$

解题步骤 10.2

计算

$- 6 x$ 在

$3$ 处和在

$0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.2

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.3

约去

$0$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.3.1

从

$0$ 中分解出因数

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.3.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.3.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.3.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.3.2.4

用

$0$ 除以

$1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 (\frac{9}{2} - 0) - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.4

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 (\frac{9}{2} + 0) - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.5

将

$\frac{9}{2}$ 和

$0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (8 (\frac{9}{2}) - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.6

组合

$8$ 和

$\frac{9}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{8 \cdot 9}{2} - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.7

将

$8$ 乘以

$9$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{72}{2} - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.8

约去

$72$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.8.1

从

$72$ 中分解出因数

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{2 \cdot 36}{2} - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.8.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{2 \cdot 36}{2 (1)} - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.8.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1} - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.8.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (\frac{36}{1} - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.8.2.4

用

$36$ 除以

$1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (36 - 6 \cdot 3 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.9

将

$- 6$ 乘以

$3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (36 - 18 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.10

将

$6$ 乘以

$0$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (36 - 18 + 0)$

解题步骤 10.3.11

将

$- 18$ 和

$0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (36 - 18)$

解题步骤 10.3.12

从

$36$ 中减去

$18$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 0} (18)$

解题步骤 11

化简分母。

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解题步骤 11.1

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 + 0} \cdot 18$

解题步骤 11.2

将

$3$ 和

$0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 18$

解题步骤 12

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

从

$18$ 中分解出因数

$3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (6))$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 6)$

解题步骤 12.3

重写表达式。

$A (x) = 6$

解题步骤 13

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