微积分学示例

$f (x) = 3 x - 6$ , $(0, 4)$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[0, 4]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 3 x - 6 d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 3 x d x + \int_{0}^{4} - 6 d x)$

解题步骤 6

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} - 6 d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 6 d x)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 6 d x)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + - 6 x]_{0}^{4})$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 6 x]_{0}^{4})$

解题步骤 10.2

计算 $- 6 x$ 在 $4$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.2

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.2.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.2.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.2.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{0}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.4

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.4.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.4.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{0}{1}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - 0) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 + 0) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.6

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 \cdot 8 - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.7

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (24 - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.8

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (24 - 24 + 6 \cdot 0)$

解题步骤 10.3.9

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (24 - 24 + 0)$

解题步骤 10.3.10

将 $- 24$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (24 - 24)$

解题步骤 10.3.11

从 $24$ 中减去 $24$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (0)$

解题步骤 11

化简分母。

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解题步骤 11.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot 0$

解题步骤 11.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

解题步骤 12

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = 0$

解题步骤 13

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