微积分学示例

$f (x) = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

解题步骤 1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[1, 3]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 4 x - 2 d x)$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 4 x d x + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

解题步骤 6

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + - 2 x]_{1}^{3})$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + - 2 x]_{1}^{3})$

解题步骤 10.2

计算 $- 2 x$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.2

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.3

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9 - 1}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.4

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.5

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{2 \cdot 4}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.5.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.5.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{4}{1}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.5.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \cdot 4 - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.7

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 6 + 2 \cdot 1)$

解题步骤 10.3.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 6 + 2)$

解题步骤 10.3.9

将 $- 6$ 和 $2$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 4)$

解题步骤 10.3.10

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (12)$

解题步骤 11

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 12$

解题步骤 12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (6))$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 6)$

解题步骤 12.3

重写表达式。

$A (x) = 6$

解题步骤 13

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