微积分学示例

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(5, 7)$

解题步骤 1

将 $y = 3 x^{3} + x + 3$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

$f (x)$ 在 $[5, 7]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} + x + 3 d x)$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \int_{5}^{7} x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + \int_{5}^{7} 3 d x)$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + 3 x]_{5}^{7})$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7}$ 和 $3 x]_{5}^{7}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

解题步骤 12.2

代入并化简。

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解题步骤 12.2.1

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $7$ 处和在 $5$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

解题步骤 12.2.2

计算 $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ 在 $7$ 处和在 $5$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3

化简。

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解题步骤 12.2.3.1

对 $7$ 进行 $4$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.2

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.3

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401 - 625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.4

从 $2401$ 中减去 $625$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1776}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.5

约去 $1776$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.3.5.1

从 $1776$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.3.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 (1)}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.5.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.5.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{444}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.5.2.4

用 $444$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \cdot 444 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.6

将 $3$ 乘以 $444$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.7

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 49 + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $49$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.9

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.10

要将 $21$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.11

组合 $21$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + \frac{21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.12

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.13

化简分子。

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解题步骤 12.2.3.13.1

将 $21$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 42}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.13.2

将 $49$ 和 $42$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.14

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 25 + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $25$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.16

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15))$

解题步骤 12.2.3.17

要将 $15$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}))$

解题步骤 12.2.3.18

组合 $15$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}))$

解题步骤 12.2.3.19

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 15 \cdot 2}{2})$

解题步骤 12.2.3.20

化简分子。

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解题步骤 12.2.3.20.1

将 $15$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 30}{2})$

解题步骤 12.2.3.20.2

将 $25$ 和 $30$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{55}{2})$

解题步骤 12.2.3.21

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91 - 55}{2})$

解题步骤 12.2.3.22

从 $91$ 中减去 $55$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{36}{2})$

解题步骤 12.2.3.23

约去 $36$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.3.23.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2})$

解题步骤 12.2.3.23.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.3.23.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)})$

解题步骤 12.2.3.23.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1})$

解题步骤 12.2.3.23.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{18}{1})$

解题步骤 12.2.3.23.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + 18)$

解题步骤 12.2.3.24

将 $1332$ 和 $18$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1350)$

解题步骤 13

从 $7$ 中减去 $5$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 1350$

解题步骤 14

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

从 $1350$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (675))$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 675)$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$A (x) = 675$

解题步骤 15

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