微积分学示例

y = 3 x^{3} + x + 3

$y = 3 x^{3} + x + 3$ ,

$(5, 7)$

解题步骤 1

将

$y = 3 x^{3} + x + 3$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

$f (x)$ 在

$[5, 7]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数

$f$ 在区间

$[a, b]$ 上的平均值定义为

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} + x + 3 d x)$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

解题步骤 7

由于

$3$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$3$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \int_{5}^{7} x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则，

$x^{3}$ 对

$x$ 的积分是

$\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

解题步骤 9

组合

$\frac{1}{4}$ 和

$x^{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

解题步骤 10

根据幂法则，

$x$ 对

$x$ 的积分是

$\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + \int_{5}^{7} 3 d x)$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + 3 x]_{5}^{7})$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合

$\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7}$ 和

$3 x]_{5}^{7}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

解题步骤 12.2

代入并化简。

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解题步骤 12.2.1

计算

$\frac{x^{4}}{4}$ 在

$7$ 处和在

$5$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

解题步骤 12.2.2

计算

$\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ 在

$7$ 处和在

$5$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3

化简。

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解题步骤 12.2.3.1

对

$7$ 进行

$4$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.2

对

$5$ 进行

$4$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.3

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401 - 625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.4

从

$2401$ 中减去

$625$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1776}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.5

约去

$1776$ 和

$4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.3.5.1

从

$1776$ 中分解出因数

$4$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.3.5.2.1

从

$4$ 中分解出因数

$4$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 (1)}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.5.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.5.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{444}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.5.2.4

用

$444$ 除以

$1$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \cdot 444 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.6

将

$3$ 乘以

$444$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.7

对

$7$ 进行

$2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 49 + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.8

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$49$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.9

将

$3$ 乘以

$7$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.10

要将

$21$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.11

组合

$21$ 和

$\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + \frac{21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.12

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.13

化简分子。

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解题步骤 12.2.3.13.1

将

$21$ 乘以

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 42}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.13.2

将

$49$ 和

$42$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.14

对

$5$ 进行

$2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 25 + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.15

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$25$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 3 \cdot 5))$

解题步骤 12.2.3.16

将

$3$ 乘以

$5$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15))$

解题步骤 12.2.3.17

要将

$15$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}))$

解题步骤 12.2.3.18

组合

$15$ 和

$\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}))$

解题步骤 12.2.3.19

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 15 \cdot 2}{2})$

解题步骤 12.2.3.20

化简分子。

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解题步骤 12.2.3.20.1

将

$15$ 乘以

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 30}{2})$

解题步骤 12.2.3.20.2

将

$25$ 和

$30$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{55}{2})$

解题步骤 12.2.3.21

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91 - 55}{2})$

解题步骤 12.2.3.22

从

$91$ 中减去

$55$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{36}{2})$

解题步骤 12.2.3.23

约去

$36$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.3.23.1

从

$36$ 中分解出因数

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2})$

解题步骤 12.2.3.23.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.3.23.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)})$

解题步骤 12.2.3.23.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1})$

解题步骤 12.2.3.23.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{18}{1})$

解题步骤 12.2.3.23.2.4

用

$18$ 除以

$1$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + 18)$

解题步骤 12.2.3.24

将

$1332$ 和

$18$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1350)$

解题步骤 13

从

$7$ 中减去

$5$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 1350$

解题步骤 14

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

从

$1350$ 中分解出因数

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (675))$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 675)$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$A (x) = 675$

解题步骤 15

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