微积分学示例

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ,

[0, 6]

$[0, 6]$

解题步骤 1

求

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ 的导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则，

x^{2} + 2 x - 3

$x^{2} + 2 x - 3$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.2

计算

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

2 x

$2 x$ 对

x

$x$ 的导数是

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.2.3

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.3.1

因为

- 3

$- 3$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- 3

$- 3$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

2 x + 2 + 0

$2 x + 2 + 0$

解题步骤 1.1.3.2

将

2 x + 2

$2 x + 2$ 和

0

$0$ 相加。

$f' (x) = 2 x + 2$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$2 x + 2$ 。

$2 x + 2$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

$f' (x)$ 在

$[0, 6]$ 上连续。

$f' (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数

$f'$ 在区间

$[a, b]$ 上的平均值定义为

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x + 2 d x)$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

解题步骤 7

由于

$2$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$2$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则，

$x$ 对

$x$ 的积分是

$\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

解题步骤 9

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + 2 x]_{0}^{6})$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算

$\frac{x^{2}}{2}$ 在

$6$ 处和在

$0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{6})$

解题步骤 11.2

计算

$2 x$ 在

$6$ 处和在

$0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

对

$6$ 进行

$2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.2

约去

$36$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.2.1

从

$36$ 中分解出因数

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.2.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.2.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.2.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.2.2.4

用

$18$ 除以

$1$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.3

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.4

约去

$0$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.4.1

从

$0$ 中分解出因数

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.4.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.4.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.4.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.4.2.4

用

$0$ 除以

$1$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.5

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 + 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.6

将

$18$ 和

$0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \cdot 18 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.7

将

$2$ 乘以

$18$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.8

将

$2$ 乘以

$6$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.9

将

$- 2$ 乘以

$0$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 + 0)$

解题步骤 11.3.10

将

$12$ 和

$0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12)$

解题步骤 11.3.11

将

$36$ 和

$12$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (48)$

解题步骤 12

化简分母。

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解题步骤 12.1

将

$- 1$ 乘以

$0$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 48$

解题步骤 12.2

将

$6$ 和

$0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 48$

解题步骤 13

约去

$6$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

从

$48$ 中分解出因数

$6$ 。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (8))$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 8)$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$A (x) = 8$

解题步骤 14

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