微积分学示例

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ , $(- 3, 4)$

解题步骤 1

求 $f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ 的导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 3 x + 34$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [34]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [34]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 3 + \frac{d}{d x} [34]$

解题步骤 1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $34$ 对于 $x$ 是常数，所以 $34$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 3 + 0$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 x + 3$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x + 3$ 。

$2 x + 3$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

$f' (x)$ 在 $[- 3, 4]$ 上连续。

$f' (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数 $f'$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\int_{- 3}^{4} 2 x + 3 d x)$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\int_{- 3}^{4} 2 x d x + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 \int_{- 3}^{4} x d x + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{4}) + 3 x]_{- 3}^{4})$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 3}^{4})$

解题步骤 11.2

计算 $3 x$ 在 $4$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.2

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.2.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.2.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.2.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.3

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.4

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.5

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.6

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8 \cdot 2 - 9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.7

化简分子。

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解题步骤 11.3.7.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{16 - 9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.7.2

从 $16$ 中减去 $9$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{7}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.8

组合 $2$ 和 $\frac{7}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.9

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{14}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.10

约去 $14$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.10.1

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2 (1)} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.10.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.10.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{7}{1} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.10.2.4

用 $7$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.11

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 12 - 3 \cdot - 3)$

解题步骤 11.3.12

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 12 + 9)$

解题步骤 11.3.13

将 $12$ 和 $9$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 21)$

解题步骤 11.3.14

将 $7$ 和 $21$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (28)$

解题步骤 12

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot 28$

解题步骤 13

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

从 $28$ 中分解出因数 $7$ 。

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 (4))$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 \cdot 4)$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$A (x) = 4$

解题步骤 14

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