微积分学示例

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 6]$

解题步骤 1

求 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 的导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 x + 2$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x + 2$ 。

$2 x + 2$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

$f' (x)$ 在 $[0, 6]$ 上连续。

$f' (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数 $f'$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x + 2 d x)$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 2 x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} 2 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 2 d x)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + 2 x]_{0}^{6})$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $6$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{6})$

解题步骤 11.2

计算 $2 x$ 在 $6$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.2

约去 $36$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.2.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.2.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.2.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.4

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.4.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.4.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 - 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 (18 + 0) + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.6

将 $18$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (2 \cdot 18 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.7

将 $2$ 乘以 $18$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.8

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 11.3.9

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12 + 0)$

解题步骤 11.3.10

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (36 + 12)$

解题步骤 11.3.11

将 $36$ 和 $12$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (48)$

解题步骤 12

化简分母。

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解题步骤 12.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 48$

解题步骤 12.2

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 48$

解题步骤 13

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

从 $48$ 中分解出因数 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (8))$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 8)$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$A (x) = 8$

解题步骤 14

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