微积分学示例

f (x) = 6 x - 6

$f (x) = 6 x - 6$ ,

(0, 4)

$(0, 4)$

解题步骤 1

检验

f (x) = 6 x - 6

$f (x) = 6 x - 6$ 是否连续。

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解题步骤 1.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 在

$[0, 4]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2

检验

$f (x) = 6 x - 6$ 是否可微。

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解题步骤 2.1

求导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则，

$6 x - 6$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 2.1.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为

$6$ 对于

$x$ 是常数，所以

$6 x$ 对

$x$ 的导数是

$6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 2.1.1.2.3

将

$6$ 乘以

$1$ 。

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 2.1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为

$- 6$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 6$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$6 + 0$

解题步骤 2.1.1.3.2

将

$6$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = 6$

解题步骤 2.1.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$6$ 。

$6$

解题步骤 2.2

判断导数在

$[0, 4]$ 上是否连续。

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解题步骤 2.2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2.2

$f' (x)$ 在

$[0, 4]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2.3

该函数在

$[0, 4]$ 上可微，因为其导数在

$[0, 4]$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 3

为了确保弧长成立，函数自身及其导数在闭区间

$[0, 4]$ 上都必须为连续的。

函数及其导数在闭区间

$[0, 4]$ 上连续。

解题步骤 4

求

$f (x) = 6 x - 6$ 的导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则，

$6 x - 6$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 4.2

计算

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为

$6$ 对于

$x$ 是常数，所以

$6 x$ 对

$x$ 的导数是

$6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 4.2.3

将

$6$ 乘以

$1$ 。

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 4.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.1

因为

$- 6$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 6$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$6 + 0$

解题步骤 4.3.2

将

$6$ 和

$0$ 相加。

$6$

解题步骤 5

要求函数的弧长，请使用公式

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ 。

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(6)}^{2}} d x$

解题步骤 6

计算积分。

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解题步骤 6.1

应用常数不变法则。

$\sqrt{37} x]_{0}^{4}$

解题步骤 6.2

代入并化简。

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解题步骤 6.2.1

计算

$\sqrt{37} x$ 在

$4$ 处和在

$0$ 处的值。

$(\sqrt{37} \cdot 4) - \sqrt{37} \cdot 0$

解题步骤 6.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将

$4$ 移到

$\sqrt{37}$ 的左侧。

$4 \cdot \sqrt{37} - \sqrt{37} \cdot 0$

解题步骤 6.2.2.2

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$4 \sqrt{37} + 0 \sqrt{37}$

解题步骤 6.2.2.3

将

$0$ 乘以

$\sqrt{37}$ 。

$4 \sqrt{37} + 0$

解题步骤 6.2.2.4

将

$4 \sqrt{37}$ 和

$0$ 相加。

$4 \sqrt{37}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$4 \sqrt{37}$

小数形式：

$24.33105012 \dots$

解题步骤 8

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