微积分学示例

$7 x^{2} + 3 x$ , $(1, 10)$

解题步骤 1

将 $7 x^{2} + 3 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

解题步骤 2

判断给定点是否在给定函数的图像上。

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解题步骤 2.1

计算 $f (x) = 7 x^{2} + 3 x$ 在 $x = 1$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 7 {(1)}^{2} + 3 (1)$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 7 \cdot 1 + 3 (1)$

解题步骤 2.1.2.1.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 7 + 3 (1)$

解题步骤 2.1.2.1.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 7 + 3$

解题步骤 2.1.2.2

将 $7$ 和 $3$ 相加。

$f (1) = 10$

解题步骤 2.1.2.3

最终答案为 $10$ 。

$10$

解题步骤 2.2

由于 $10 = 10$ ，所以这个点在图像上。

该点在图像上

解题步骤 3

切线的斜率为表达式的导数。

$m$ $=$ $f (x) = 7 x^{2} + 3 x$ 的导数

解题步骤 4

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 5

求定义的补集。

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解题步骤 5.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 5.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 5.1.2

化简结果。

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解题步骤 5.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.1.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 5.1.2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 5.1.2.1.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.4

运用分配律。

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.5

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 5.1.2.1.6

运用分配律。

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

解题步骤 5.1.2.2

最终答案为 $7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$ 。

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

解题步骤 5.2

重新排序。

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解题步骤 5.2.1

移动 $3 x$ 。

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 h + 3 x$

解题步骤 5.2.2

移动 $7 x^{2}$ 。

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

解题步骤 5.2.3

将 $14 h x$ 和 $7 h^{2}$ 重新排序。

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

解题步骤 5.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

解题步骤 6

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2} + 3 x)}{h}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2}) - (3 x)}{h}$

解题步骤 7.1.2

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - (3 x)}{h}$

解题步骤 7.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - 3 x}{h}$

解题步骤 7.1.4

从 $7 x^{2}$ 中减去 $7 x^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

解题步骤 7.1.5

将 $7 h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

解题步骤 7.1.6

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 0}{h}$

解题步骤 7.1.7

将 $7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h}{h}$

解题步骤 7.1.8

从 $7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 7.1.8.1

从 $7 h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + 14 h x + 3 h}{h}$

解题步骤 7.1.8.2

从 $14 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + 3 h}{h}$

解题步骤 7.1.8.3

从 $3 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 3}{h}$

解题步骤 7.1.8.4

从 $h (7 h) + h (14 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 3}{h}$

解题步骤 7.1.8.5

从 $h (7 h + 14 x) + h \cdot 3$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

解题步骤 7.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 7.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $7 h + 14 x + 3$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7 h + 14 x + 3$

解题步骤 7.2.2

将 $7 h$ 和 $14 x$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 14 x + 7 h + 3$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} 14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

解题步骤 8.2

计算 $14 x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

解题步骤 8.3

因为项 $7$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

解题步骤 8.4

计算 $3$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + 3$

解题步骤 9

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$14 x + 7 \cdot 0 + 3$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$14 x + 0 + 3$

解题步骤 10.2

将 $14 x$ 和 $0$ 相加。

$14 x + 3$

解题步骤 11

化简 $14 (1) + 3$ 。

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解题步骤 11.1

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$m = 14 + 3$

解题步骤 11.2

将 $14$ 和 $3$ 相加。

$m = 17$

解题步骤 12

斜率为 $m = 17$ ，该点是 $(1, 10)$ 。

$m = 17, (1, 10)$

解题步骤 13

使用直线方程的公式求 $b$ 的值。

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解题步骤 13.1

使用直线方程的公式求 $b$ 。

$y = m x + b$

解题步骤 13.2

将 $m$ 的值代入方程中。

$y = (17) \cdot x + b$

解题步骤 13.3

将 $x$ 的值代入方程中。

$y = (17) \cdot (1) + b$

解题步骤 13.4

将 $y$ 的值代入方程中。

$10 = (17) \cdot (1) + b$

解题步骤 13.5

求 $b$ 的值。

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解题步骤 13.5.1

将方程重写为 $(17) \cdot (1) + b = 10$ 。

$(17) \cdot (1) + b = 10$

解题步骤 13.5.2

将 $17$ 乘以 $1$ 。

$17 + b = 10$

解题步骤 13.5.3

将所有不包含 $b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 13.5.3.1

从等式两边同时减去 $17$ 。

$b = 10 - 17$

解题步骤 13.5.3.2

从 $10$ 中减去 $17$ 。

$b = - 7$

解题步骤 14

现在已知 $m$ （斜率）和 $b$ （y 轴截距）的值，将其代入 $y = m x + b$ 以求直线方程。

$y = 17 x - 7$

解题步骤 15

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