微积分学示例

y = {(x + 3)}^{2}

$y = {(x + 3)}^{2}$ ,

(1, 16)

$(1, 16)$

解题步骤 1

将

y = {(x + 3)}^{2}

$y = {(x + 3)}^{2}$ 书写为一个函数。

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 2

判断给定点是否在给定函数的图像上。

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解题步骤 2.1

计算

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$ 在

x = 1

$x = 1$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的

1

$1$ 替换变量

x

$x$ 。

f (1) = {((1) + 3)}^{2}

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

将

1

$1$ 和

3

$3$ 相加。

f (1) = 4^{2}

$f (1) = 4^{2}$

解题步骤 2.1.2.2

对

4

$4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

f (1) = 16

$f (1) = 16$

解题步骤 2.1.2.3

最终答案为

16

$16$ 。

16

$16$

16

$16$

16

$16$

解题步骤 2.2

由于

16 = 16

$16 = 16$ ，所以这个点在图像上。

该点在图像上

解题步骤 3

切线的斜率为表达式的导数。

m

$m$

=

$=$

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$ 的导数

解题步骤 4

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 5

求定义的补集。

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解题步骤 5.1

计算函数在

$x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 5.1.1

使用表达式中的

$x + h$ 替换变量

$x$ 。

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

解题步骤 5.1.2

化简结果。

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解题步骤 5.1.2.1

将

${(x + h + 3)}^{2}$ 重写为

$(x + h + 3) (x + h + 3)$ 。

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

解题步骤 5.1.2.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开

$(x + h + 3) (x + h + 3)$ 。

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

解题步骤 5.1.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.3.1

将

$x$ 乘以

$x$ 。

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

解题步骤 5.1.2.3.2

将

$3$ 移到

$x$ 的左侧。

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

解题步骤 5.1.2.3.3

将

$h$ 乘以

$h$ 。

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

解题步骤 5.1.2.3.4

将

$3$ 移到

$h$ 的左侧。

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

解题步骤 5.1.2.3.5

将

$3$ 乘以

$3$ 。

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

解题步骤 5.1.2.4

将

$x h$ 和

$h x$ 相加。

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解题步骤 5.1.2.4.1

将

$x$ 和

$h$ 重新排序。

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

解题步骤 5.1.2.4.2

将

$h x$ 和

$h x$ 相加。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

解题步骤 5.1.2.5

将

$3 x$ 和

$3 x$ 相加。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

解题步骤 5.1.2.6

将

$3 h$ 和

$3 h$ 相加。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

解题步骤 5.1.2.7

最终答案为

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ 。

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

解题步骤 5.2

重新排序。

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解题步骤 5.2.1

移动

$x^{2}$ 。

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

解题步骤 5.2.2

将

$2 h x$ 和

$h^{2}$ 重新排序。

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

解题步骤 5.3

求定义的补集。

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

解题步骤 6

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

解题步骤 7.1.2

化简。

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解题步骤 7.1.2.1

将

$6$ 乘以

$- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

解题步骤 7.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$9$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

解题步骤 7.1.3

从

$x^{2}$ 中减去

$x^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

解题步骤 7.1.4

将

$h^{2}$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

解题步骤 7.1.5

从

$6 x$ 中减去

$6 x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

解题步骤 7.1.6

将

$h^{2}$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

解题步骤 7.1.7

从

$9$ 中减去

$9$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

解题步骤 7.1.8

将

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

解题步骤 7.1.9

从

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ 中分解出因数

$h$ 。

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解题步骤 7.1.9.1

从

$h^{2}$ 中分解出因数

$h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

解题步骤 7.1.9.2

从

$2 h x$ 中分解出因数

$h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

解题步骤 7.1.9.3

从

$6 h$ 中分解出因数

$h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

解题步骤 7.1.9.4

从

$h (h) + h (2 x)$ 中分解出因数

$h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

解题步骤 7.1.9.5

从

$h (h + 2 x) + h \cdot 6$ 中分解出因数

$h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

解题步骤 7.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 7.2.1

约去

$h$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

解题步骤 7.2.1.2

用

$h + 2 x + 6$ 除以

$1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

解题步骤 7.2.2

将

$h$ 和

$2 x$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

当

$h$ 趋于

$0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

解题步骤 8.2

计算

$2 x$ 的极限值，当

$h$ 趋近于

$0$ 时此极限值为常数。

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

解题步骤 8.3

计算

$6$ 的极限值，当

$h$ 趋近于

$0$ 时此极限值为常数。

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

解题步骤 9

将

$0$ 代入

$h$ 来计算

$h$ 的极限值。

$2 x + 0 + 6$

解题步骤 10

将

$2 x$ 和

$0$ 相加。

$2 x + 6$

解题步骤 11

化简

$2 (1) + 6$ 。

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解题步骤 11.1

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$m = 2 + 6$

解题步骤 11.2

将

$2$ 和

$6$ 相加。

$m = 8$

解题步骤 12

斜率为

$m = 8$ ，该点是

$(1, 16)$ 。

$m = 8, (1, 16)$

解题步骤 13

使用直线方程的公式求

$b$ 的值。

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解题步骤 13.1

使用直线方程的公式求

$b$ 。

$y = m x + b$

解题步骤 13.2

将

$m$ 的值代入方程中。

$y = (8) \cdot x + b$

解题步骤 13.3

将

$x$ 的值代入方程中。

$y = (8) \cdot (1) + b$

解题步骤 13.4

将

$y$ 的值代入方程中。

$16 = (8) \cdot (1) + b$

解题步骤 13.5

求

$b$ 的值。

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解题步骤 13.5.1

将方程重写为

$(8) \cdot (1) + b = 16$ 。

$(8) \cdot (1) + b = 16$

解题步骤 13.5.2

将

$8$ 乘以

$1$ 。

$8 + b = 16$

解题步骤 13.5.3

将所有不包含

$b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 13.5.3.1

从等式两边同时减去

$8$ 。

$b = 16 - 8$

解题步骤 13.5.3.2

从

$16$ 中减去

$8$ 。

$b = 8$

解题步骤 14

现在已知

$m$ （斜率）和

$b$ （y 轴截距）的值，将其代入

$y = m x + b$ 以求直线方程。

$y = 8 x + 8$

解题步骤 15

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