微积分学示例

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ,

[0, 6]

$[0, 6]$

解题步骤 1

如果

f

$f$ 在区间

[a, b]

$[a, b]$ 上连续且在区间

(a, b)

$(a, b)$ 上可微，则区间

(a, b)

$(a, b)$ 内至少存在一个实数

c

$c$ 使得

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在

$x = c$ 处的切线斜率与经过点

$(a, f (a))$ 和点

$(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果

$f (x)$ 在

$[a, b]$ 上连续

且如果

$f (x)$ 在

$(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点，

$[a, b]$ 中的

$c$ ：

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在

$[0, 6]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1.1

根据加法法则，

$x^{2} + 2 x - 3$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 3.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 3.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

因为

$2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$2 x$ 对

$x$ 的导数是

$2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 3.1.2.3

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 3.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.3.1

因为

$- 3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 3$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$2 x + 2 + 0$

解题步骤 3.1.3.2

将

$2 x + 2$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = 2 x + 2$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$2 x + 2$ 。

$2 x + 2$

解题步骤 4

判断导数在

$(0, 6)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在

$(0, 6)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在

$(0, 6)$ 上可微，因为其导数在

$(0, 6)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在

$[0, 6]$ 上连续，并且在

$(0, 6)$ 上可微。

$f (x)$ 在

$[0, 6]$ 上连续，在

$(0, 6)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间

$[0, 6]$ 内计算

$f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的

$0$ 替换变量

$x$ 。

$f (0) = {(0)}^{2} + 2 (0) - 3$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f (0) = 0 + 2 (0) - 3$

解题步骤 7.2.1.2

将

$2$ 乘以

$0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 3$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$f (0) = 0 - 3$

解题步骤 7.2.2.2

从

$0$ 中减去

$3$ 。

$f (0) = - 3$

解题步骤 7.2.3

最终答案为

$- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 8

在区间

$[0, 6]$ 内计算

$f (b)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的

$6$ 替换变量

$x$ 。

$f (6) = {(6)}^{2} + 2 (6) - 3$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对

$6$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (6) = 36 + 2 (6) - 3$

解题步骤 8.2.1.2

将

$2$ 乘以

$6$ 。

$f (6) = 36 + 12 - 3$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将

$36$ 和

$12$ 相加。

$f (6) = 48 - 3$

解题步骤 8.2.2.2

从

$48$ 中减去

$3$ 。

$f (6) = 45$

解题步骤 8.2.3

最终答案为

$45$ 。

$45$

解题步骤 9

求解

$x$ 的

$2 x + 2 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ，

$2 x + 2 = \frac{- (f (6) + f (0))}{- (6 + 0)}$ 。

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解题步骤 9.1

化简

$\frac{(45) - (- 3)}{(6) - (0)}$ 。

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解题步骤 9.1.1

约去

$(45) - (- 3)$ 和

$(6) - (0)$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

将

$6$ 重写为

$- 1 (- 6)$ 。

$2 x + 2 = \frac{(45) - (- 3)}{- 1 (- 6) - (0)}$

解题步骤 9.1.1.2

从

$- 1 (- 6) - (0)$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$2 x + 2 = \frac{(45) - (- 3)}{- 1 (- 6 + 0)}$

解题步骤 9.1.1.3

从

$45$ 中分解出因数

$3$ 。

$2 x + 2 = \frac{3 (15) - (- 3)}{- 1 (- 6 + 0)}$

解题步骤 9.1.1.4

从

$- (- 3)$ 中分解出因数

$3$ 。

$2 x + 2 = \frac{3 (15) + 3 (- (- 1))}{- 1 (- 6 + 0)}$

解题步骤 9.1.1.5

从

$3 (15) + 3 (- (- 1))$ 中分解出因数

$3$ 。

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{- 1 (- 6 + 0)}$

解题步骤 9.1.1.6

约去公因数。

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解题步骤 9.1.1.6.1

从

$- 1 (- 6 + 0)$ 中分解出因数

$3$ 。

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{3 (- 1 (- 2 + 0))}$

解题步骤 9.1.1.6.2

约去公因数。

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{3 (- 1 (- 2 + 0))}$

解题步骤 9.1.1.6.3

重写表达式。

$2 x + 2 = \frac{15 - (- 1)}{- 1 (- 2 + 0)}$

解题步骤 9.1.2

化简分子。

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解题步骤 9.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$2 x + 2 = \frac{15 + 1}{- 1 (- 2 + 0)}$

解题步骤 9.1.2.2

将

$15$ 和

$1$ 相加。

$2 x + 2 = \frac{16}{- 1 (- 2 + 0)}$

解题步骤 9.1.3

化简表达式。

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解题步骤 9.1.3.1

将

$- 2$ 和

$0$ 相加。

$2 x + 2 = \frac{16}{- 1 \cdot - 2}$

解题步骤 9.1.3.2

将

$- 1$ 乘以

$- 2$ 。

$2 x + 2 = \frac{16}{2}$

解题步骤 9.1.3.3

用

$16$ 除以

$2$ 。

$2 x + 2 = 8$

解题步骤 9.2

将所有不包含

$x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去

$2$ 。

$2 x = 8 - 2$

解题步骤 9.2.2

从

$8$ 中减去

$2$ 。

$2 x = 6$

解题步骤 9.3

将

$2 x = 6$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

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解题步骤 9.3.1

将

$2 x = 6$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

解题步骤 9.3.2

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

解题步骤 9.3.2.1.2

用

$x$ 除以

$1$ 。

$x = \frac{6}{2}$

解题步骤 9.3.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.3.1

用

$6$ 除以

$2$ 。

$x = 3$

解题步骤 10

点

$x = 3$ 处存在一条切线，且与经过端点

$a = 0$ 和

$b = 6$ 的直线平行。

点

$x = 3$ 处存在一条切线，且与经过端点

$a = 0$ 和

$b = 6$ 的直线平行。

解题步骤 11

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