微积分学示例

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ , $[- 5, 1]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[- 5, 1]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $3 x^{2} + 6 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 x + 6 + 0$

解题步骤 3.1.4.2

将 $6 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 6 x + 6$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x + 6$ 。

$6 x + 6$

解题步骤 4

判断导数在 $(- 5, 1)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(- 5, 1)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(- 5, 1)$ 上可微，因为其导数在 $(- 5, 1)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[- 5, 1]$ 上连续，并且在 $(- 5, 1)$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[- 5, 1]$ 上连续，在 $(- 5, 1)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[- 5, 1]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 5) = 3 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) - 5$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 5) = 3 \cdot 25 + 6 (- 5) - 5$

解题步骤 7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$f (- 5) = 75 + 6 (- 5) - 5$

解题步骤 7.2.1.3

将 $6$ 乘以 $- 5$ 。

$f (- 5) = 75 - 30 - 5$

解题步骤 7.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $75$ 中减去 $30$ 。

$f (- 5) = 45 - 5$

解题步骤 7.2.2.2

从 $45$ 中减去 $5$ 。

$f (- 5) = 40$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $40$ 。

$40$

解题步骤 8

在区间 $[- 5, 1]$ 内计算 $f (b)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 6 (1) - 5$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 3 \cdot 1 + 6 (1) - 5$

解题步骤 8.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 3 + 6 (1) - 5$

解题步骤 8.2.1.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 3 + 6 - 5$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $3$ 和 $6$ 相加。

$f (1) = 9 - 5$

解题步骤 8.2.2.2

从 $9$ 中减去 $5$ 。

$f (1) = 4$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $4$ 。

$4$

解题步骤 9

求解 $x$ 的 $6 x + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $6 x + 6 = \frac{- (f (1) + f (- 5))}{- (1 - 5)}$ 。

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解题步骤 9.1

化简 $\frac{(4) - (40)}{(1) - (- 5)}$ 。

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解题步骤 9.1.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $40$ 。

$6 x + 6 = \frac{4 - 40}{1 - (- 5)}$

解题步骤 9.1.1.2

从 $4$ 中减去 $40$ 。

$6 x + 6 = \frac{- 36}{1 - (- 5)}$

解题步骤 9.1.2

化简分母。

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解题步骤 9.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$6 x + 6 = \frac{- 36}{1 + 5}$

解题步骤 9.1.2.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$6 x + 6 = \frac{- 36}{6}$

解题步骤 9.1.3

用 $- 36$ 除以 $6$ 。

$6 x + 6 = - 6$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$6 x = - 6 - 6$

解题步骤 9.2.2

从 $- 6$ 中减去 $6$ 。

$6 x = - 12$

解题步骤 9.3

将 $6 x = - 12$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $6 x = - 12$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 12}{6}$

解题步骤 9.3.2

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 12}{6}$

解题步骤 9.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 12}{6}$

解题步骤 9.3.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.3.1

用 $- 12$ 除以 $6$ 。

$x = - 2$

解题步骤 10

点 $x = - 2$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = - 5$ 和 $b = 1$ 的直线平行。

解题步骤 11

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