微积分学示例

f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ ,

[- 2, 1]

$[- 2, 1]$

解题步骤 1

如果

f

$f$ 在区间

[a, b]

$[a, b]$ 上连续且在区间

(a, b)

$(a, b)$ 上可微，则区间

(a, b)

$(a, b)$ 内至少存在一个实数

c

$c$ 使得

f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在

x = c

$x = c$ 处的切线斜率与经过点

(a, f (a))

$(a, f (a))$ 和点

(b, f (b))

$(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果

f (x)

$f (x)$ 在

[a, b]

$[a, b]$ 上连续

且如果

f (x)

$f (x)$ 在

(a, b)

$(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点，

[a, b]

$[a, b]$ 中的

c

$c$ ：

f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}

$f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验

f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5

$f (x) = 3 x^{2} + 6 x - 5$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在

$[- 2, 1]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则，

$3 x^{2} + 6 x - 5$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

因为

$3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$3 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.2.3

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.3

计算

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为

$6$ 对于

$x$ 是常数，所以

$6 x$ 对

$x$ 的导数是

$6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.3.3

将

$6$ 乘以

$1$ 。

$6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 3.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.4.1

因为

$- 5$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 5$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$6 x + 6 + 0$

解题步骤 3.1.4.2

将

$6 x + 6$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = 6 x + 6$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$6 x + 6$ 。

$6 x + 6$

解题步骤 4

判断导数在

$(- 2, 1)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在

$(- 2, 1)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在

$(- 2, 1)$ 上可微，因为其导数在

$(- 2, 1)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在

$[- 2, 1]$ 上连续，并且在

$(- 2, 1)$ 上可微。

$f (x)$ 在

$[- 2, 1]$ 上连续，在

$(- 2, 1)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间

$[- 2, 1]$ 内计算

$f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的

$- 2$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 5$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对

$- 2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 2) = 3 \cdot 4 + 6 (- 2) - 5$

解题步骤 7.2.1.2

将

$3$ 乘以

$4$ 。

$f (- 2) = 12 + 6 (- 2) - 5$

解题步骤 7.2.1.3

将

$6$ 乘以

$- 2$ 。

$f (- 2) = 12 - 12 - 5$

解题步骤 7.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从

$12$ 中减去

$12$ 。

$f (- 2) = 0 - 5$

解题步骤 7.2.2.2

从

$0$ 中减去

$5$ 。

$f (- 2) = - 5$

解题步骤 7.2.3

最终答案为

$- 5$ 。

$- 5$

解题步骤 8

在区间

$[- 2, 1]$ 内计算

$f (b)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的

$1$ 替换变量

$x$ 。

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 6 (1) - 5$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 3 \cdot 1 + 6 (1) - 5$

解题步骤 8.2.1.2

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$f (1) = 3 + 6 (1) - 5$

解题步骤 8.2.1.3

将

$6$ 乘以

$1$ 。

$f (1) = 3 + 6 - 5$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将

$3$ 和

$6$ 相加。

$f (1) = 9 - 5$

解题步骤 8.2.2.2

从

$9$ 中减去

$5$ 。

$f (1) = 4$

解题步骤 8.2.3

最终答案为

$4$ 。

$4$

解题步骤 9

求解

$x$ 的

$6 x + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ，

$6 x + 6 = \frac{- (f (1) + f (- 2))}{- (1 - 2)}$ 。

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解题步骤 9.1

化简

$\frac{(4) - (- 5)}{(1) - (- 2)}$ 。

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解题步骤 9.1.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1.1

将

$- 1$ 乘以

$- 5$ 。

$6 x + 6 = \frac{4 + 5}{1 - (- 2)}$

解题步骤 9.1.1.2

将

$4$ 和

$5$ 相加。

$6 x + 6 = \frac{9}{1 - (- 2)}$

解题步骤 9.1.2

化简分母。

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解题步骤 9.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$- 2$ 。

$6 x + 6 = \frac{9}{1 + 2}$

解题步骤 9.1.2.2

将

$1$ 和

$2$ 相加。

$6 x + 6 = \frac{9}{3}$

解题步骤 9.1.3

用

$9$ 除以

$3$ 。

$6 x + 6 = 3$

解题步骤 9.2

将所有不包含

$x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去

$6$ 。

$6 x = 3 - 6$

解题步骤 9.2.2

从

$3$ 中减去

$6$ 。

$6 x = - 3$

解题步骤 9.3

将

$6 x = - 3$ 中的每一项除以

$6$ 并化简。

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解题步骤 9.3.1

将

$6 x = - 3$ 中的每一项都除以

$6$ 。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

解题步骤 9.3.2

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1

约去

$6$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 3}{6}$

解题步骤 9.3.2.1.2

用

$x$ 除以

$1$ 。

$x = \frac{- 3}{6}$

解题步骤 9.3.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.3.1

约去

$- 3$ 和

$6$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1.1

从

$- 3$ 中分解出因数

$3$ 。

$x = \frac{3 (- 1)}{6}$

解题步骤 9.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.3.1.2.1

从

$6$ 中分解出因数

$3$ 。

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 9.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 9.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 9.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 10

点

$x = - \frac{1}{2}$ 处存在一条切线，且与经过端点

$a = - 2$ 和

$b = 1$ 的直线平行。

点

$x = - \frac{1}{2}$ 处存在一条切线，且与经过端点

$a = - 2$ 和

$b = 1$ 的直线平行。

解题步骤 11

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