微积分学示例

f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1

$f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则，

4 x^{2} - 3 x + 1

$4 x^{2} - 3 x + 1$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2

计算

\frac{d}{d x} [4 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为

4

$4$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

4 x^{2}

$4 x^{2}$ 对

x

$x$ 的导数是

4 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.3

将

2

$2$ 乘以

4

$4$ 。

8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3

计算

\frac{d}{d x} [- 3 x]

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为

- 3

$- 3$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- 3 x

$- 3 x$ 对

x

$x$ 的导数是

- 3 \frac{d}{d x} [x]

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]

$8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3.3

将

- 3

$- 3$ 乘以

1

$1$ 。

8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]

$8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]

$8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为

1

$1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

1

$1$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

8 x - 3 + 0

$8 x - 3 + 0$

解题步骤 1.4.2

将

8 x - 3

$8 x - 3$ 和

0

$0$ 相加。

8 x - 3

$8 x - 3$

8 x - 3

$8 x - 3$

8 x - 3

$8 x - 3$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则，

8 x - 3

$8 x - 3$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 2.2

计算

$\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为

$8$ 对于

$x$ 是常数，所以

$8 x$ 对

$x$ 的导数是

$8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$f'' (x) = 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 2.2.3

将

$8$ 乘以

$1$ 。

$f'' (x) = 8 + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为

$- 3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 3$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$f'' (x) = 8 + 0$

解题步骤 2.3.2

将

$8$ 和

$0$ 相加。

$f'' (x) = 8$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于

$0$ 并求解。

$8 x - 3 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则，

$4 x^{2} - 3 x + 1$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 4.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为

$4$ 对于

$x$ 是常数，所以

$4 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$f' (x) = 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 4.1.2.3

将

$2$ 乘以

$4$ 。

$f' (x) = 8 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 4.1.3

计算

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为

$- 3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 3 x$ 对

$x$ 的导数是

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 8 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$f' (x) = 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 4.1.3.3

将

$- 3$ 乘以

$1$ 。

$f' (x) = 8 x - 3 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为

$1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$1$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$f' (x) = 8 x - 3 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将

$8 x - 3$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = 8 x - 3$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$8 x - 3$ 。

$8 x - 3$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$8 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$8 x - 3 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上

$3$ 。

$8 x = 3$

解题步骤 5.3

将

$8 x = 3$ 中的每一项除以

$8$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将

$8 x = 3$ 中的每一项都除以

$8$ 。

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去

$8$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用

$x$ 除以

$1$ 。

$x = \frac{3}{8}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{3}{8}$

解题步骤 8

计算在

$x = \frac{3}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$8$

解题步骤 9

因为二阶导数的值为正数，所以

$x = \frac{3}{8}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3}{8}$ 是一个极小值

解题步骤 10

求

$x = \frac{3}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的

$\frac{3}{8}$ 替换变量

$x$ 。

$f (\frac{3}{8}) = 4 {(\frac{3}{8})}^{2} - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

对

$\frac{3}{8}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{3^{2}}{8^{2}}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

解题步骤 10.2.1.2

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{8^{2}}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

解题步骤 10.2.1.3

对

$8$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{64}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

解题步骤 10.2.1.4

约去

$4$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.4.1

从

$64$ 中分解出因数

$4$ 。

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{4 (16)}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

解题步骤 10.2.1.4.2

约去公因数。

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{4 \cdot 16}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

解题步骤 10.2.1.4.3

重写表达式。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

解题步骤 10.2.1.5

乘以

$- 3 (\frac{3}{8})$ 。

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解题步骤 10.2.1.5.1

组合

$- 3$ 和

$\frac{3}{8}$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} + \frac{- 3 \cdot 3}{8} + 1$

解题步骤 10.2.1.5.2

将

$- 3$ 乘以

$3$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} + \frac{- 9}{8} + 1$

解题步骤 10.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9}{8} + 1$

解题步骤 10.2.2

求公分母。

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解题步骤 10.2.2.1

将

$\frac{9}{8}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - (\frac{9}{8} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

解题步骤 10.2.2.2

将

$\frac{9}{8}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + 1$

解题步骤 10.2.2.3

将

$1$ 写成分母为

$1$ 的分数。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

解题步骤 10.2.2.4

将

$\frac{1}{1}$ 乘以

$\frac{16}{16}$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16}$

解题步骤 10.2.2.5

将

$\frac{1}{1}$ 乘以

$\frac{16}{16}$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{16}{16}$

解题步骤 10.2.2.6

重新排序

$8 \cdot 2$ 的因式。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 8} + \frac{16}{16}$

解题步骤 10.2.2.7

将

$2$ 乘以

$8$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{16} + \frac{16}{16}$

解题步骤 10.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 16}{16}$

解题步骤 10.2.4

化简表达式。

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解题步骤 10.2.4.1

将

$- 9$ 乘以

$2$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9 - 18 + 16}{16}$

解题步骤 10.2.4.2

从

$9$ 中减去

$18$ 。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 9 + 16}{16}$

解题步骤 10.2.4.3

将

$- 9$ 和

$16$ 相加。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{7}{16}$

解题步骤 10.2.5

最终答案为

$\frac{7}{16}$ 。

$y = \frac{7}{16}$

解题步骤 11

这些是

$f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1$ 的局部极值。

$(\frac{3}{8}, \frac{7}{16})$ 是一个局部最小值

解题步骤 12

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