微积分学示例

$f (x) = - 5 x^{2} + 14 x + 3$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- 5 x^{2} + 14 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$- 10 x + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [14 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 10 x + 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 10 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.3

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$- 10 x + 14 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 10 x + 14 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $- 10 x + 14$ 和 $0$ 相加。

$- 10 x + 14$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 10 x + 14$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [14]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (14)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (14)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (14)$

解题步骤 2.2.3

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 10 + \frac{d}{d x} (14)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 10 + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $- 10$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 10$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 10 x + 14 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- 5 x^{2} + 14 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$- 10 x + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [14 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 10 x + 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 10 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$- 10 x + 14 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 10 x + 14 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $- 10 x + 14$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 10 x + 14$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 10 x + 14$ 。

$- 10 x + 14$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 10 x + 14 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 10 x + 14 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $14$ 。

$- 10 x = - 14$

解题步骤 5.3

将 $- 10 x = - 14$ 中的每一项除以 $- 10$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 10 x = - 14$ 中的每一项都除以 $- 10$ 。

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 14}{- 10}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $- 10$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 14}{- 10}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 14}{- 10}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

约去 $- 14$ 和 $- 10$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1

从 $- 14$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$x = \frac{- 2 (7)}{- 10}$

解题步骤 5.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$x = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 5}$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 5}$

解题步骤 5.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{7}{5}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{7}{5}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{7}{5}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 10$

解题步骤 9

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{7}{5}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{7}{5}$ 是一个极大值

解题步骤 10

求 $x = \frac{7}{5}$ 时的 y 值。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $\frac{7}{5}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7}{5}) = - 5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

对 $\frac{7}{5}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{7}{5}) = - 5 \frac{7^{2}}{5^{2}} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

解题步骤 10.2.1.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{7}{5}) = - 5 \frac{49}{5^{2}} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

解题步骤 10.2.1.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{7}{5}) = - 5 (\frac{49}{25}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

解题步骤 10.2.1.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.4.1

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{7}{5}) = 5 (- 1) (\frac{49}{25}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

解题步骤 10.2.1.4.2

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{7}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{49}{5 \cdot 5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

解题步骤 10.2.1.4.3

约去公因数。

$f (\frac{7}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{49}{5 \cdot 5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

解题步骤 10.2.1.4.4

重写表达式。

$f (\frac{7}{5}) = - 1 (\frac{49}{5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

解题步骤 10.2.1.5

将 $- 1 (\frac{49}{5})$ 重写为 $- (\frac{49}{5})$ 。

$f (\frac{7}{5}) = - (\frac{49}{5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

解题步骤 10.2.1.6

乘以 $14 (\frac{7}{5})$ 。

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解题步骤 10.2.1.6.1

组合 $14$ 和 $\frac{7}{5}$ 。

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{49}{5} + \frac{14 \cdot 7}{5} + 3$

解题步骤 10.2.1.6.2

将 $14$ 乘以 $7$ 。

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{49}{5} + \frac{98}{5} + 3$

解题步骤 10.2.2

合并分数。

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解题步骤 10.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7}{5}) = 3 + \frac{- 49 + 98}{5}$

解题步骤 10.2.2.2

将 $- 49$ 和 $98$ 相加。

$f (\frac{7}{5}) = 3 + \frac{49}{5}$

解题步骤 10.2.3

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (\frac{7}{5}) = 3 \cdot \frac{5}{5} + \frac{49}{5}$

解题步骤 10.2.4

组合 $3$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$f (\frac{7}{5}) = \frac{3 \cdot 5}{5} + \frac{49}{5}$

解题步骤 10.2.5

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7}{5}) = \frac{3 \cdot 5 + 49}{5}$

解题步骤 10.2.6

化简分子。

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解题步骤 10.2.6.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{7}{5}) = \frac{15 + 49}{5}$

解题步骤 10.2.6.2

将 $15$ 和 $49$ 相加。

$f (\frac{7}{5}) = \frac{64}{5}$

解题步骤 10.2.7

最终答案为 $\frac{64}{5}$ 。

$y = \frac{64}{5}$

解题步骤 11

这些是 $f (x) = - 5 x^{2} + 14 x + 3$ 的局部极值。

$(\frac{7}{5}, \frac{64}{5})$ 是一个局部最大值

解题步骤 12

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