微积分学示例

$f (x) = x^{2} - 3 x + 4$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则，

$x^{2} - 3 x + 4$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2

计算

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为

$- 3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 3 x$ 对

$x$ 的导数是

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.3

将

$- 3$ 乘以

$1$ 。

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为

$4$ 对于

$x$ 是常数，所以

$4$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$2 x - 3 + 0$

解题步骤 1.3.2

将

$2 x - 3$ 和

$0$ 相加。

$2 x - 3$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则，

$2 x - 3$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 2.2

计算

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为

$2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$2 x$ 对

$x$ 的导数是

$2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 2.2.3

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为

$- 3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 3$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$f'' (x) = 2 + 0$

解题步骤 2.3.2

将

$2$ 和

$0$ 相加。

$f'' (x) = 2$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于

$0$ 并求解。

$2 x - 3 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则，

$x^{2} - 3 x + 4$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 4.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为

$- 3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 3 x$ 对

$x$ 的导数是

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$f' (x) = 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 4.1.2.3

将

$- 3$ 乘以

$1$ 。

$f' (x) = 2 x - 3 + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为

$4$ 对于

$x$ 是常数，所以

$4$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$f' (x) = 2 x - 3 + 0$

解题步骤 4.1.3.2

将

$2 x - 3$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = 2 x - 3$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$2 x - 3$ 。

$2 x - 3$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$2 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$2 x - 3 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上

$3$ 。

$2 x = 3$

解题步骤 5.3

将

$2 x = 3$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将

$2 x = 3$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用

$x$ 除以

$1$ 。

$x = \frac{3}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{3}{2}$

解题步骤 8

计算在

$x = \frac{3}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2$

解题步骤 9

因为二阶导数的值为正数，所以

$x = \frac{3}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 10

求

$x = \frac{3}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的

$\frac{3}{2}$ 替换变量

$x$ 。

$f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{2} - 3 (\frac{3}{2}) + 4$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

对

$\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3^{2}}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 4$

解题步骤 10.2.1.2

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2}) + 4$

解题步骤 10.2.1.3

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 4$

解题步骤 10.2.1.4

乘以

$- 3 (\frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 10.2.1.4.1

组合

$- 3$ 和

$\frac{3}{2}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 4$

解题步骤 10.2.1.4.2

将

$- 3$ 乘以

$3$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 4$

解题步骤 10.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4$

解题步骤 10.2.2

求公分母。

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解题步骤 10.2.2.1

将

$\frac{9}{2}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 4$

解题步骤 10.2.2.2

将

$\frac{9}{2}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 4$

解题步骤 10.2.2.3

将

$4$ 写成分母为

$1$ 的分数。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

解题步骤 10.2.2.4

将

$\frac{4}{1}$ 乘以

$\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 10.2.2.5

将

$\frac{4}{1}$ 乘以

$\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 10.2.2.6

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 10.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 10.2.4

化简每一项。

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解题步骤 10.2.4.1

将

$- 9$ 乘以

$2$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 10.2.4.2

将

$4$ 乘以

$4$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 16}{4}$

解题步骤 10.2.5

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.2.5.1

从

$9$ 中减去

$18$ 。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 16}{4}$

解题步骤 10.2.5.2

将

$- 9$ 和

$16$ 相加。

$f (\frac{3}{2}) = \frac{7}{4}$

解题步骤 10.2.6

最终答案为

$\frac{7}{4}$ 。

$y = \frac{7}{4}$

解题步骤 11

这些是

$f (x) = x^{2} - 3 x + 4$ 的局部极值。

$(\frac{3}{2}, \frac{7}{4})$ 是一个局部最小值

解题步骤 12

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