微积分学示例

$f (x) = 5 x^{2} + 10 x + 3$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $5 x^{2} + 10 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$10 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.3.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$10 x + 10 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 x + 10 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $10 x + 10$ 和 $0$ 相加。

$10 x + 10$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $10 x + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (10)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)$

解题步骤 2.2.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 10 + \frac{d}{d x} (10)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 10 + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $10$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 10$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$10 x + 10 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $5 x^{2} + 10 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$10 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$10 x + 10 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 x + 10 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $10 x + 10$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 10 x + 10$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $10 x + 10$ 。

$10 x + 10$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $10 x + 10 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$10 x + 10 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $10$ 。

$10 x = - 10$

解题步骤 5.3

将 $10 x = - 10$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $10 x = - 10$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 10}{10}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 10}{10}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 10}{10}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $- 10$ 除以 $10$ 。

$x = - 1$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 1$

解题步骤 8

计算在 $x = - 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$10$

解题步骤 9

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 1$ 是一个极小值

解题步骤 10

求 $x = - 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{2} + 10 (- 1) + 3$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = 5 \cdot 1 + 10 (- 1) + 3$

解题步骤 10.2.1.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = 5 + 10 (- 1) + 3$

解题步骤 10.2.1.3

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 5 - 10 + 3$

解题步骤 10.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.2.2.1

从 $5$ 中减去 $10$ 。

$f (- 1) = - 5 + 3$

解题步骤 10.2.2.2

将 $- 5$ 和 $3$ 相加。

$f (- 1) = - 2$

解题步骤 10.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 11

这些是 $f (x) = 5 x^{2} + 10 x + 3$ 的局部极值。

$(- 1, - 2)$ 是一个局部最小值

解题步骤 12

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