微积分学示例

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $5 x^{3} - 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$15 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$15 x^{2} - 5 (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (x) = 15 x^{2} - 10 x$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $15 x^{2} - 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$30 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$30 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$30 x - 10 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3.3

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 30 x - 10$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $30 x - 10$ 。

$30 x - 10$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $30 x - 10 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$30 x - 10 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $10$ 。

$30 x = 10$

解题步骤 2.3

将 $30 x = 10$ 中的每一项除以 $30$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $30 x = 10$ 中的每一项都除以 $30$ 。

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $30$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{10}{30}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

约去 $10$ 和 $30$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.1

从 $10$ 中分解出因数 $10$ 。

$x = \frac{10 (1)}{30}$

解题步骤 2.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

从 $30$ 中分解出因数 $10$ 。

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{3}$ 代入 $f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $\frac{1}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{3}) = 5 {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{27}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.4

组合 $5$ 和 $\frac{1}{27}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.5

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.6

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 (\frac{1}{9})$

解题步骤 3.1.2.1.8

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} + \frac{- 5}{9}$

解题步骤 3.1.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9}$

解题步骤 3.1.2.2

要将 $- \frac{5}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $\frac{5}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27}$

解题步骤 3.1.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 5 \cdot 3}{27}$

解题步骤 3.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 15}{27}$

解题步骤 3.1.2.5.2

从 $5$ 中减去 $15$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 10}{27}$

解题步骤 3.1.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{10}{27}$

解题步骤 3.1.2.7

最终答案为 $- \frac{10}{27}$ 。

$- \frac{10}{27}$

解题步骤 3.2

通过将 $\frac{1}{3}$ 代入 $f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ 中求得的点为 $(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{1}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0.2\overline{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.2\overline{3}) = 30 (0.2\overline{3}) - 10$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $30$ 乘以 $0.2\overline{3}$ 。

$f'' (0.2\overline{3}) = 7 - 10$

解题步骤 5.2.2

从 $7$ 中减去 $10$ 。

$f'' (0.2\overline{3}) = - 3$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 5.3

在 $0.2\overline{3}$ ，二阶导数为 $- 3$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, \frac{1}{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{1}{3})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(\frac{1}{3}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.4\overline{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.4\overline{3}) = 30 (0.4\overline{3}) - 10$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $30$ 乘以 $0.4\overline{3}$ 。

$f'' (0.4\overline{3}) = 13 - 10$

解题步骤 6.2.2

从 $13$ 中减去 $10$ 。

$f'' (0.4\overline{3}) = 3$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 6.3

在 $0.4\overline{3}$ 处，二阶导数为 $3$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{1}{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{1}{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ 。

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

解题步骤 8

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