微积分学示例

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则，

$5 x^{4} - 10 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

解题步骤 1.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为

$5$ 对于

$x$ 是常数，所以

$5 x^{4}$ 对

$x$ 的导数是

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 4$ 。

$f' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

将

$4$ 乘以

$5$ 。

$f' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{2})$

解题步骤 1.1.3

计算

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为

$- 10$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 10 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 20 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$f' (x) = 20 x^{3} - 10 (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将

$2$ 乘以

$- 10$ 。

$f' (x) = 20 x^{3} - 20 x$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则，

$20 x^{3} - 20 x$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

解题步骤 1.2.2

计算

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为

$20$ 对于

$x$ 是常数，所以

$20 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$f'' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

解题步骤 1.2.2.3

将

$3$ 乘以

$20$ 。

$f'' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

解题步骤 1.2.3

计算

$\frac{d}{d x} [- 20 x]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为

$- 20$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 20 x$ 对

$x$ 的导数是

$- 20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3.3

将

$- 20$ 乘以

$1$ 。

$f'' (x) = 60 x^{2} - 20$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对

$x$ 的二阶导数是

$60 x^{2} - 20$ 。

$60 x^{2} - 20$

解题步骤 2

使二阶导数等于

$0$ ，然后求解方程

$60 x^{2} - 20 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于

$0$ 。

$60 x^{2} - 20 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上

$20$ 。

$60 x^{2} = 20$

解题步骤 2.3

将

$60 x^{2} = 20$ 中的每一项除以

$60$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将

$60 x^{2} = 20$ 中的每一项都除以

$60$ 。

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{20}{60}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去

$60$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{20}{60}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用

$x^{2}$ 除以

$1$ 。

$x^{2} = \frac{20}{60}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

约去

$20$ 和

$60$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.1

从

$20$ 中分解出因数

$20$ 。

$x^{2} = \frac{20 (1)}{60}$

解题步骤 2.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

从

$60$ 中分解出因数

$20$ 。

$x^{2} = \frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x^{2} = \frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x^{2} = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.5

化简

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.5.1

将

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.5.2

$1$ 的任意次方根都是

$1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.5.3

将

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.5.4.1

将

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.5.4.2

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.5.4.3

对

$\sqrt{3}$ 进行

$1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 2.5.4.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.5.4.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.6

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 2.5.4.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.5.4.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.4.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.5.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 2.5.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.6.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.6.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3

求二阶导数为

$0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ 以求

$y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 替换变量

$x$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1

将

${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为

$3^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$4$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.4

约去

$4$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.1

从

$4$ 中分解出因数

$2$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2.1.4.2.4

用

$2$ 除以

$1$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{2}}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2.2

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{3^{4}}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对

$3$ 进行

$4$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{81}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.4

约去

$9$ 和

$81$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.4.1

从

$9$ 中分解出因数

$9$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 (1)}{81}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.4.2.1

从

$81$ 中分解出因数

$9$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{1}{9}) - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.5

组合

$5$ 和

$\frac{1}{9}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.6

对

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.7

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.7.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.7.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.7.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.7.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.7.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.7.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.8

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{3}{9})$

解题步骤 3.1.2.1.9

约去

$3$ 和

$9$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.9.1

从

$3$ 中分解出因数

$3$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 (1)}{9}$

解题步骤 3.1.2.1.9.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.9.2.1

从

$9$ 中分解出因数

$3$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.1.2.1.9.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.1.2.1.9.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{1}{3})$

解题步骤 3.1.2.1.10

组合

$- 10$ 和

$\frac{1}{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} + \frac{- 10}{3}$

解题步骤 3.1.2.1.11

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3}$

解题步骤 3.1.2.2

要将

$- \frac{10}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.1.2.3

通过与

$1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母

$9$ 的形式。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将

$\frac{10}{3}$ 乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.1.2.3.2

将

$3$ 乘以

$3$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{9}$

解题步骤 3.1.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 10 \cdot 3}{9}$

解题步骤 3.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将

$- 10$ 乘以

$3$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 30}{9}$

解题步骤 3.1.2.5.2

从

$5$ 中减去

$30$ 。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 25}{9}$

解题步骤 3.1.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{25}{9}$

解题步骤 3.1.2.7

最终答案为

$- \frac{25}{9}$ 。

$- \frac{25}{9}$

解题步骤 3.2

通过将

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ 中求得的点为

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

解题步骤 3.3

将

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ 以求

$y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 替换变量

$x$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

使用幂法则

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

对

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

对

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

对

$- 1$ 进行

$4$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

将

$\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ 乘以

$1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.1.4.1

将

${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为

$3^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.4.1.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$4$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.4

约去

$4$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.1

从

$4$ 中分解出因数

$2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4.1.4.2.4

用

$2$ 除以

$1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3^{2}}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{3^{4}}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.5

对

$3$ 进行

$4$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9}{81}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.6

约去

$9$ 和

$81$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.6.1

从

$9$ 中分解出因数

$9$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 (1)}{81}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.6.2.1

从

$81$ 中分解出因数

$9$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.6.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.6.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{1}{9}) - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.7

组合

$5$ 和

$\frac{1}{9}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.8

使用幂法则

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.3.2.1.8.1

对

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2})$

解题步骤 3.3.2.1.8.2

对

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

解题步骤 3.3.2.1.9

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

解题步骤 3.3.2.1.10

将

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ 乘以

$1$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.11

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.11.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.11.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.11.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.11.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.11.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.11.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.11.5

计算指数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3}{3^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.12

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{3}{9})$

解题步骤 3.3.2.1.13

约去

$3$ 和

$9$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.13.1

从

$3$ 中分解出因数

$3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 (1)}{9}$

解题步骤 3.3.2.1.13.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.13.2.1

从

$9$ 中分解出因数

$3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.2.1.13.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.2.1.13.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - 10 (\frac{1}{3})$

解题步骤 3.3.2.1.14

组合

$- 10$ 和

$\frac{1}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} + \frac{- 10}{3}$

解题步骤 3.3.2.1.15

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3}$

解题步骤 3.3.2.2

要将

$- \frac{10}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.3.2.3

通过与

$1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母

$9$ 的形式。

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解题步骤 3.3.2.3.1

将

$\frac{10}{3}$ 乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.2.3.2

将

$3$ 乘以

$3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{10 \cdot 3}{9}$

解题步骤 3.3.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 10 \cdot 3}{9}$

解题步骤 3.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.5.1

将

$- 10$ 乘以

$3$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5 - 30}{9}$

解题步骤 3.3.2.5.2

从

$5$ 中减去

$30$ 。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 25}{9}$

解题步骤 3.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{25}{9}$

解题步骤 3.3.2.7

最终答案为

$- \frac{25}{9}$ 。

$- \frac{25}{9}$

解题步骤 3.4

通过将

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2}$ 中求得的点为

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

解题步骤 4

分解

$(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的

$- 0.67735026$ 替换变量

$x$ 。

$f'' (- 0.67735026) = 60 {(- 0.67735026)}^{2} - 20$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对

$- 0.67735026$ 进行

$2$ 次方运算。

$f'' (- 0.67735026) = 60 \cdot 0.45880338 - 20$

解题步骤 5.2.1.2

将

$60$ 乘以

$0.45880338$ 。

$f'' (- 0.67735026) = 27.52820323 - 20$

解题步骤 5.2.2

从

$27.52820323$ 中减去

$20$ 。

$f'' (- 0.67735026) = 7.52820323$

解题步骤 5.2.3

最终答案为

$7.52820323$ 。

$7.52820323$

解题步骤 5.3

在

$- 0.67735026$ 处，二阶导数为

$7.52820323$ 。由于其值为正，二阶导数在区间

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递增。

因为

$f'' (x) > 0$ ，所以函数在

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递增

因为

$f'' (x) > 0$ ，所以函数在

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递增

解题步骤 6

将区间

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的

$0$ 替换变量

$x$ 。

$f'' (0) = 60 {(0)}^{2} - 20$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f'' (0) = 60 \cdot 0 - 20$

解题步骤 6.2.1.2

将

$60$ 乘以

$0$ 。

$f'' (0) = 0 - 20$

解题步骤 6.2.2

从

$0$ 中减去

$20$ 。

$f'' (0) = - 20$

解题步骤 6.2.3

最终答案为

$- 20$ 。

$- 20$

解题步骤 6.3

在

$0$ ，二阶导数为

$- 20$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递减

因为

$f'' (x) < 0$ ，所以在

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递减

因为

$f'' (x) < 0$ ，所以在

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上递减

解题步骤 7

将区间

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的

$0.67735026$ 替换变量

$x$ 。

$f'' (0.67735026) = 60 {(0.67735026)}^{2} - 20$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对

$0.67735026$ 进行

$2$ 次方运算。

$f'' (0.67735026) = 60 \cdot 0.45880338 - 20$

解题步骤 7.2.1.2

将

$60$ 乘以

$0.45880338$ 。

$f'' (0.67735026) = 27.52820323 - 20$

解题步骤 7.2.2

从

$27.52820323$ 中减去

$20$ 。

$f'' (0.67735026) = 7.52820323$

解题步骤 7.2.3

最终答案为

$7.52820323$ 。

$7.52820323$

解题步骤 7.3

在

$0.67735026$ 处，二阶导数为

$7.52820323$ 。由于其值为正，二阶导数在区间

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 上递增。

因为

$f'' (x) > 0$ ，所以函数在

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 上递增

因为

$f'' (x) > 0$ ，所以函数在

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{25}{9})$

解题步骤 9

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微积分学 示例

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