微积分学示例

f (x) = 3 x^{2} - 1

$f (x) = 3 x^{2} - 1$ ,

[1, 3]

$[1, 3]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则，

3 x^{2} - 1

$3 x^{2} - 1$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2

计算

\frac{d}{d x} [3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为

3

$3$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

3 x^{2}

$3 x^{2}$ 对

x

$x$ 的导数是

3 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将

2

$2$ 乘以

3

$3$ 。

6 x + \frac{d}{d x} [- 1]

$6 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

6 x + \frac{d}{d x} [- 1]

$6 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- 1

$- 1$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

6 x + 0

$6 x + 0$

解题步骤 1.1.1.3.2

将

6 x

$6 x$ 和

0

$0$ 相加。

f' (x) = 6 x

$f' (x) = 6 x$

f' (x) = 6 x

$f' (x) = 6 x$

f' (x) = 6 x

$f' (x) = 6 x$

解题步骤 1.1.2

f (x)

$f (x)$ 对

x

$x$ 的一阶导数是

6 x

$6 x$ 。

6 x

$6 x$

6 x

$6 x$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于

0

$0$ ，然后求解方程

6 x = 0

$6 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于

0

$0$ 。

6 x = 0

$6 x = 0$

解题步骤 1.2.2

将

6 x = 0

$6 x = 0$ 中的每一项除以

6

$6$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将

6 x = 0

$6 x = 0$ 中的每一项都除以

6

$6$ 。

\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去

6

$6$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x = \frac{0}{6}

$x = \frac{0}{6}$

x = \frac{0}{6}

$x = \frac{0}{6}$

x = \frac{0}{6}

$x = \frac{0}{6}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

用

0

$0$ 除以

6

$6$ 。

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为

0

$0$ 或无意义的

x

$x$ 值，计算

3 x^{2} - 1

$3 x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 1.4.1

在

x = 0

$x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入

0

$0$ 替换

x

$x$ 。

3 {(0)}^{2} - 1

$3 {(0)}^{2} - 1$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

3 \cdot 0 - 1

$3 \cdot 0 - 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将

3

$3$ 乘以

0

$0$ 。

0 - 1

$0 - 1$

0 - 1

$0 - 1$

解题步骤 1.4.1.2.2

从

0

$0$ 中减去

1

$1$ 。

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

(0, - 1)

$(0, - 1)$

(0, - 1)

$(0, - 1)$

(0, - 1)

$(0, - 1)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在

x = 1

$x = 1$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入

1

$1$ 替换

x

$x$ 。

3 {(1)}^{2} - 1

$3 {(1)}^{2} - 1$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

3 \cdot 1 - 1

$3 \cdot 1 - 1$

解题步骤 3.1.2.1.2

将

3

$3$ 乘以

1

$1$ 。

3 - 1

$3 - 1$

3 - 1

$3 - 1$

解题步骤 3.1.2.2

从

3

$3$ 中减去

1

$1$ 。

2

$2$

2

$2$

2

$2$

解题步骤 3.2

在

x = 3

$x = 3$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入

3

$3$ 替换

x

$x$ 。

3 {(3)}^{2} - 1

$3 {(3)}^{2} - 1$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

通过指数相加将

3

$3$ 乘以

{(3)}^{2}

${(3)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

将

3

$3$ 乘以

{(3)}^{2}

${(3)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1.1

对

3

$3$ 进行

1

$1$ 次方运算。

3^{1} {(3)}^{2} - 1

$3^{1} {(3)}^{2} - 1$

解题步骤 3.2.2.1.1.1.2

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

3^{1 + 2} - 1

$3^{1 + 2} - 1$

3^{1 + 2} - 1

$3^{1 + 2} - 1$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将

1

$1$ 和

2

$2$ 相加。

3^{3} - 1

$3^{3} - 1$

3^{3} - 1

$3^{3} - 1$

解题步骤 3.2.2.1.2

对

3

$3$ 进行

3

$3$ 次方运算。

27 - 1

$27 - 1$

27 - 1

$27 - 1$

解题步骤 3.2.2.2

从

27

$27$ 中减去

1

$1$ 。

26

$26$

26

$26$

26

$26$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

(1, 2), (3, 26)

$(1, 2), (3, 26)$

(1, 2), (3, 26)

$(1, 2), (3, 26)$

解题步骤 4

将每个

x

$x$ 的值对应所得的

f (x)

$f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值

f (x)

$f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值

f (x)

$f (x)$ 时产生。

最大绝对值：

(3, 26)

$(3, 26)$

最小绝对值：

(1, 2)

$(1, 2)$

解题步骤 5

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