微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x^{2} - 24 x$ 。

$12 x^{2} - 24 x$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} - 24 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} - 24 x = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $12 x^{2} - 24 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x) - 24 x = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $12 x (x) + 12 x (- 2)$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x - 2) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $12 x (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 - 24 \cdot - 2$

解题步骤 4.2.1.2

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$f'' (- 2) = 48 - 24 \cdot - 2$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (- 2) = 48 + 48$

解题步骤 4.2.2

将 $48$ 和 $48$ 相加。

$f'' (- 2) = 96$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $96$ 。

$96$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, 0)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 2)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 0)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(0, 2)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = 12 - 24$

解题步骤 5.2.2

从 $12$ 中减去 $24$ 。

$f'' (1) = - 12$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 12$ 。

$- 12$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(0, 2)$ 上向下凹，因为 $f'' (1)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, 2)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(2, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 24 \cdot 4$

解题步骤 6.2.1.2

将 $12$ 乘以 $16$ 。

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 4$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $4$ 。

$f'' (4) = 192 - 96$

解题步骤 6.2.2

从 $192$ 中减去 $96$ 。

$f'' (4) = 96$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $96$ 。

$96$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(2, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(2, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 0)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, 2)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(2, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

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