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微积分学示例

y = x^{2} - 2 x + 1

$y = x^{2} - 2 x + 1$ ,

(0, 1)

$(0, 1)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算

x = 0

$x = 0$ 和

y = 1

$y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则，

x^{2} - 2 x + 1

$x^{2} - 2 x + 1$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2

计算

\frac{d}{d x} [- 2 x]

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为

- 2

$- 2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- 2 x

$- 2 x$ 对

x

$x$ 的导数是

- 2 \frac{d}{d x} [x]

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.3

将

- 2

$- 2$ 乘以

1

$1$ 。

2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为

1

$1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

1

$1$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

2 x - 2 + 0

$2 x - 2 + 0$

解题步骤 1.3.2

将

2 x - 2

$2 x - 2$ 和

0

$0$ 相加。

2 x - 2

$2 x - 2$

2 x - 2

$2 x - 2$

解题步骤 1.4

计算在

x = 0

$x = 0$ 处的导数。

2 (0) - 2

$2 (0) - 2$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将

2

$2$ 乘以

0

$0$ 。

0 - 2

$0 - 2$

解题步骤 1.5.2

从

0

$0$ 中减去

2

$2$ 。

- 2

$- 2$

- 2

$- 2$

- 2

$- 2$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解

y

$y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率

- 2

$- 2$ 和给定点

(0, 1)

$(0, 1)$ ，替换由斜率方程

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式

y - y_{1} = m (x - x_{1})

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的

x_{1}

$x_{1}$ 和

y_{1}

$y_{1}$ 。

y - (1) = - 2 \cdot (x - (0))

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (0))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

y - 1 = - 2 \cdot (x + 0)

$y - 1 = - 2 \cdot (x + 0)$

解题步骤 2.3

求解

y

$y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将

x

$x$ 和

0

$0$ 相加。

y - 1 = - 2 x

$y - 1 = - 2 x$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上

1

$1$ 。

y = - 2 x + 1

$y = - 2 x + 1$

y = - 2 x + 1

$y = - 2 x + 1$

y = - 2 x + 1

$y = - 2 x + 1$

解题步骤 3

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[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$