微积分学示例

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 16$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

将 ${(x + 3)}^{2}$ 重写为 $(x + 3) (x + 3)$ 。

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3)]$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x + 3)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x + 3) + 3 (x + 3)]$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)]$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]$

解题步骤 1.3.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3]$

解题步骤 1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3 x + 9]$

解题步骤 1.3.2

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

解题步骤 1.4

根据加法法则， $x^{2} + 6 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.6

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.8

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.9

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 6 + 0$

解题步骤 1.10

将 $2 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 6$

解题步骤 1.11

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$2 (1) + 6$

解题步骤 1.12

化简。

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解题步骤 1.12.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 6$

解题步骤 1.12.2

将 $2$ 和 $6$ 相加。

$8$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $8$ 和给定点 $(1, 16)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (16) = 8 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 16 = 8 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $8 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 16 = 0 + 0 + 8 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 16 = 8 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 16 = 8 x + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 16 = 8 x - 8$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $16$ 。

$y = 8 x - 8 + 16$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 8$ 和 $16$ 相加。

$y = 8 x + 8$

解题步骤 3

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