微积分学示例

$y = 3 x^{3} + 4 x + 5$ , $(2, 37)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 2$ 和 $y = 37$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 x^{3} + 4 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$9 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 x^{2} + 4 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $9 x^{2} + 4$ 和 $0$ 相加。

$9 x^{2} + 4$

解题步骤 1.5

计算在 $x = 2$ 处的导数。

$9 {(2)}^{2} + 4$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 \cdot 4 + 4$

解题步骤 1.6.1.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$36 + 4$

解题步骤 1.6.2

将 $36$ 和 $4$ 相加。

$40$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $40$ 和给定点 $(2, 37)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (37) = 40 \cdot (x - (2))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 37 = 40 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $40 \cdot (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 37 = 0 + 0 + 40 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 37 = 40 \cdot (x - 2)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 37 = 40 x + 40 \cdot - 2$

解题步骤 2.3.1.4

将 $40$ 乘以 $- 2$ 。

$y - 37 = 40 x - 80$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $37$ 。

$y = 40 x - 80 + 37$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 80$ 和 $37$ 相加。

$y = 40 x - 43$

解题步骤 3

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