微积分学示例

y = {(x + 3)}^{2}

$y = {(x + 3)}^{2}$ ,

(1, 16)

$(1, 16)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算

x = 1

$x = 1$ 和

y = 16

$y = 16$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

将

{(x + 3)}^{2}

${(x + 3)}^{2}$ 重写为

(x + 3) (x + 3)

$(x + 3) (x + 3)$ 。

\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3)]

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3)]$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开

(x + 3) (x + 3)

$(x + 3) (x + 3)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

\frac{d}{d x} [x (x + 3) + 3 (x + 3)]

$\frac{d}{d x} [x (x + 3) + 3 (x + 3)]$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)]

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)]$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]$

\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将

x

$x$ 乘以

x

$x$ 。

\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]$

解题步骤 1.3.1.2

将

3

$3$ 移到

x

$x$ 的左侧。

\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3]

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3]$

解题步骤 1.3.1.3

将

3

$3$ 乘以

3

$3$ 。

\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3 x + 9]

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3 x + 9]$

\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3 x + 9]

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3 x + 9]$

解题步骤 1.3.2

将

3 x

$3 x$ 和

3 x

$3 x$ 相加。

\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

解题步骤 1.4

根据加法法则，

x^{2} + 6 x + 9

$x^{2} + 6 x + 9$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]

$2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.6

因为

6

$6$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

6 x

$6 x$ 对

x

$x$ 的导数是

6 \frac{d}{d x} [x]

$6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.7

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]

$2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.8

将

6

$6$ 乘以

1

$1$ 。

2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9]

$2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.9

因为

9

$9$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

9

$9$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

2 x + 6 + 0

$2 x + 6 + 0$

解题步骤 1.10

将

2 x + 6

$2 x + 6$ 和

0

$0$ 相加。

2 x + 6

$2 x + 6$

解题步骤 1.11

计算在

x = 1

$x = 1$ 处的导数。

2 (1) + 6

$2 (1) + 6$

解题步骤 1.12

化简。

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解题步骤 1.12.1

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

2 + 6

$2 + 6$

解题步骤 1.12.2

将

2

$2$ 和

6

$6$ 相加。

8

$8$

8

$8$

8

$8$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解

y

$y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率

8

$8$ 和给定点

(1, 16)

$(1, 16)$ ，替换由斜率方程

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式

y - y_{1} = m (x - x_{1})

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的

x_{1}

$x_{1}$ 和

y_{1}

$y_{1}$ 。

y - (16) = 8 \cdot (x - (1))

$y - (16) = 8 \cdot (x - (1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

y - 16 = 8 \cdot (x - 1)

$y - 16 = 8 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3

求解

y

$y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简

8 \cdot (x - 1)

$8 \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

y - 16 = 0 + 0 + 8 \cdot (x - 1)

$y - 16 = 0 + 0 + 8 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

y - 16 = 8 \cdot (x - 1)

$y - 16 = 8 \cdot (x - 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

y - 16 = 8 x + 8 \cdot - 1

$y - 16 = 8 x + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.4

将

8

$8$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

y - 16 = 8 x - 8

$y - 16 = 8 x - 8$

y - 16 = 8 x - 8

$y - 16 = 8 x - 8$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含

y

$y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上

16

$16$ 。

y = 8 x - 8 + 16

$y = 8 x - 8 + 16$

解题步骤 2.3.2.2

将

- 8

$- 8$ 和

16

$16$ 相加。

y = 8 x + 8

$y = 8 x + 8$

y = 8 x + 8

$y = 8 x + 8$

y = 8 x + 8

$y = 8 x + 8$

y = 8 x + 8

$y = 8 x + 8$

解题步骤 3

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