微积分学示例

$y = x^{2} + 3 x - 9$ , $(3, 9)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 3$ 和 $y = 9$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 3 x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 3 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $2 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 3$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 3$ 处的导数。

$2 (3) + 3$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 + 3$

解题步骤 1.5.2

将 $6$ 和 $3$ 相加。

$9$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $9$ 和给定点 $(3, 9)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (9) = 9 \cdot (x - (3))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 9 = 9 \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $9 \cdot (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 9 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 9 = 9 \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 9 = 9 x + 9 \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.4

将 $9$ 乘以 $- 3$ 。

$y - 9 = 9 x - 27$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$y = 9 x - 27 + 9$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 27$ 和 $9$ 相加。

$y = 9 x - 18$

解题步骤 3

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