微积分学示例

f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则，

x^{4} + 2 x^{2} - 8 x

$x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 4

$n = 4$ 。

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 1.1.2

计算

\frac{d}{d x} [2 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

2 x^{2}

$2 x^{2}$ 对

x

$x$ 的导数是

2 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x]

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 1.1.2.3

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x]

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x]

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

解题步骤 1.1.3

计算

\frac{d}{d x} [- 8 x]

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为

- 8

$- 8$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- 8 x

$- 8 x$ 对

x

$x$ 的导数是

- 8 \frac{d}{d x} [x]

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

4 x^{3} + 4 x - 8 \frac{d}{d x} [x]

$4 x^{3} + 4 x - 8 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

4 x^{3} + 4 x - 8 \cdot 1

$4 x^{3} + 4 x - 8 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将

- 8

$- 8$ 乘以

1

$1$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$4 x^{3} + 4 x - 8$ 。

$4 x^{3} + 4 x - 8$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$4 x^{3} + 4 x - 8 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$4 x^{3} + 4 x - 8 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从

$4 x^{3} + 4 x - 8$ 中分解出因数

$4$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从

$4 x^{3}$ 中分解出因数

$4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 x - 8 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从

$4 x$ 中分解出因数

$4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 (x) - 8 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从

$- 8$ 中分解出因数

$4$ 。

$4 (x^{3}) + 4 x + 4 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从

$4 (x^{3}) + 4 x$ 中分解出因数

$4$ 。

$4 (x^{3} + x) + 4 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从

$4 (x^{3} + x) + 4 \cdot - 2$ 中分解出因数

$4$ 。

$4 (x^{3} + x - 2) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

使用有理根检验法因式分解

$x^{3} + x - 2$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为

$\frac{p}{q}$ 的形式，其中

$p$ 为常数的因数，而

$q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.2.2.1.2

求

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.2.2.1.3

代入

$1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于

$0$ ，所以

$1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

将

$1$ 代入多项式。

$1^{3} + 1 - 2$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

对

$1$ 进行

$3$ 次方运算。

$1 + 1 - 2$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$2 - 2$

解题步骤 2.2.2.1.3.4

从

$2$ 中减去

$2$ 。

$0$

解题步骤 2.2.2.1.4

因为

$1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以

$x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

解题步骤 2.2.2.1.5

用

$x^{3} + x - 2$ 除以

$x - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带

$0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

解题步骤 2.2.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项

$x^{3}$ 除以除数中的最高阶项

$x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

解题步骤 2.2.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

解题步骤 2.2.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.2.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项

$x^{2}$ 除以除数中的最高阶项

$x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.2.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 2.2.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$x^{2} - x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.2.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

解题步骤 2.2.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

解题步骤 2.2.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项

$2 x$ 除以除数中的最高阶项

$x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

解题步骤 2.2.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

解题步骤 2.2.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$2 x - 2$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

解题步骤 2.2.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

解题步骤 2.2.2.1.5.16

因为余数为

$0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + x + 2$

解题步骤 2.2.2.1.6

将

$x^{3} + x - 2$ 书写为因数的集合。

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 2)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 2 = 0$

解题步骤 2.4

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上

$1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.5

将

$x^{2} + x + 2$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将

$x^{2} + x + 2$ 设为等于

$0$ 。

$x^{2} + x + 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解

$x$ 的

$x^{2} + x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.2.2

将

$a = 1$ 、

$b = 1$ 和

$c = 2$ 的值代入二次公式中并求解

$x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3

化简。

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解题步骤 2.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2

乘以

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2.2

将

$- 4$ 乘以

$2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3

从

$1$ 中减去

$8$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.4

将

$- 7$ 重写为

$- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.5

将

$\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.1.6

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4

化简表达式以求

$\pm$ 在

$+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2

乘以

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2.2

将

$- 4$ 乘以

$2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.3

从

$1$ 中减去

$8$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.4

将

$- 7$ 重写为

$- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.5

将

$\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.1.6

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.4.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.3

将

$\pm$ 变换为

$+$ 。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.4

将

$- 1$ 重写为

$- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.5

从

$i \sqrt{7}$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.6

从

$- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 2.5.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5

化简表达式以求

$\pm$ 在

$-$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2

乘以

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.5.2.5.1.2.1

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.2.2

将

$- 4$ 乘以

$2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.3

从

$1$ 中减去

$8$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.4

将

$- 7$ 重写为

$- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.5

将

$\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.1.6

将

$\sqrt{- 1}$ 重写为

$i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.5.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.3

将

$\pm$ 变换为

$-$ 。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.4

将

$- 1$ 重写为

$- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.5

从

$- i \sqrt{7}$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.6

从

$- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

解题步骤 2.5.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 2.6

最终解为使

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

解题步骤 3

使导数等于

$0$ 的值为

$1$ 。

$1$

解题步骤 4

求出让导数

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8$ 等于

$0$ 或无定义的点后，用来检验

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ 在何处增加和在何处减少的区间即为

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ 。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5

将区间

$(- \infty, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的

$0$ 替换变量

$x$ 。

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} + 4 (0) - 8$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f' (0) = 4 \cdot 0 + 4 (0) - 8$

解题步骤 5.2.1.2

将

$4$ 乘以

$0$ 。

$f' (0) = 0 + 4 (0) - 8$

解题步骤 5.2.1.3

将

$4$ 乘以

$0$ 。

$f' (0) = 0 + 0 - 8$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$f' (0) = 0 - 8$

解题步骤 5.2.2.2

从

$0$ 中减去

$8$ 。

$f' (0) = - 8$

解题步骤 5.2.3

最终答案为

$- 8$ 。

$- 8$

解题步骤 5.3

在

$x = 0$ 处，导数为

$- 8$ 。由于其值为负，函数在

$(- \infty, 1)$ 上递减。

因为

$f' (x) < 0$ ，所以在

$(- \infty, 1)$ 上递减

因为

$f' (x) < 0$ ，所以在

$(- \infty, 1)$ 上递减

解题步骤 6

将区间

$(1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的

$2$ 替换变量

$x$ 。

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 4 (2) - 8$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对

$2$ 进行

$3$ 次方运算。

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 4 (2) - 8$

解题步骤 6.2.1.2

将

$4$ 乘以

$8$ 。

$f' (2) = 32 + 4 (2) - 8$

解题步骤 6.2.1.3

将

$4$ 乘以

$2$ 。

$f' (2) = 32 + 8 - 8$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将

$32$ 和

$8$ 相加。

$f' (2) = 40 - 8$

解题步骤 6.2.2.2

从

$40$ 中减去

$8$ 。

$f' (2) = 32$

解题步骤 6.2.3

最终答案为

$32$ 。

$32$

解题步骤 6.3

在

$x = 2$ 处，导数为

$32$ 。由于其值为正，函数在

$(1, \infty)$ 上递增。

因为

$f' (x) > 0$ ，所以函数在

$(1, \infty)$ 上递增

因为

$f' (x) > 0$ ，所以函数在

$(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间：

$(1, \infty)$

递减于：

$(- \infty, 1)$

解题步骤 8

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