微积分学示例

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 2 + 0$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 x + 2$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x + 2$ 。

$2 x + 2$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x + 2 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$2 x = - 2$

解题步骤 2.3

将 $2 x = - 2$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 x = - 2$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2}{2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $- 2$ 除以 $2$ 。

$x = - 1$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 4

求出让导数 $f' (x) = 2 x + 2$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ 。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = 2 (- 2) + 2$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = - 4 + 2$

解题步骤 5.2.2

将 $- 4$ 和 $2$ 相加。

$f' (- 2) = - 2$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 5.3

在 $x = - 2$ 处，导数为 $- 2$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 1)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 2 (0) + 2$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 2$

解题步骤 6.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f' (0) = 2$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 6.3

在 $x = 0$ 处，导数为 $2$ 。由于其值为正，函数在 $(- 1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 1, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- 1, \infty)$

递减于： $(- \infty, - 1)$

解题步骤 8

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