微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 36$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 12 x^{2} + 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]$

解题步骤 1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 24 x + 0$

解题步骤 1.1.3.2

将 $4 x^{3} - 24 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 24 x$ 。

$4 x^{3} - 24 x$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 24 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 24 x = 0$

解题步骤 2.2

从 $4 x^{3} - 24 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) - 24 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (- 6)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 6 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$x^{2} = 6$

解题步骤 2.5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{6}$

解题步骤 2.5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{6}$

解题步骤 2.5.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{6}$

解题步骤 2.5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $4 x (x^{2} - 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$ 。

$0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \sqrt{6})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 3.4494898$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3.4494898) = 4 {(- 3.4494898)}^{3} - 24 \cdot - 3.4494898$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 3.4494898$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 3.4494898) = 4 \cdot - 41.04540972 - 24 \cdot - 3.4494898$

解题步骤 5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 41.04540972$ 。

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 - 24 \cdot - 3.4494898$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $- 3.4494898$ 。

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552$

解题步骤 5.2.2

将 $- 164.18163891$ 和 $82.7877552$ 相加。

$f' (- 3.4494898) = - 81.39388371$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 81.39388371$ 。

$- 81.39388371$

解题步骤 5.3

在 $x = - 3.4494898$ 处，导数为 $- 81.39388371$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - \sqrt{6})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - \sqrt{6})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 2.4494898, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1.2247449$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1.2247449) = 4 {(- 1.2247449)}^{3} - 24 \cdot - 1.2247449$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1.2247449$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 1.2247449) = 4 \cdot - 1.83711743 - 24 \cdot - 1.2247449$

解题步骤 6.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1.83711743$ 。

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 - 24 \cdot - 1.2247449$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $- 1.2247449$ 。

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776$

解题步骤 6.2.2

将 $- 7.34846974$ 和 $29.3938776$ 相加。

$f' (- 1.2247449) = 22.04540785$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $22.04540785$ 。

$22.04540785$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1.2247449$ 处，导数为 $22.04540785$ 。由于其值为正，函数在 $(- 2.4494898, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \sqrt{6}, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, \sqrt{6})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1.2247449$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.2247449) = 4 {(1.2247449)}^{3} - 24 \cdot 1.2247449$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $1.2247449$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (1.2247449) = 4 \cdot 1.83711743 - 24 \cdot 1.2247449$

解题步骤 7.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1.83711743$ 。

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 24 \cdot 1.2247449$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $1.2247449$ 。

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776$

解题步骤 7.2.2

从 $7.34846974$ 中减去 $29.3938776$ 。

$f' (1.2247449) = - 22.04540785$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 22.04540785$ 。

$- 22.04540785$

解题步骤 7.3

在 $x = 1.2247449$ 处，导数为 $- 22.04540785$ 。由于其值为负，函数在 $(0, \sqrt{6})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \sqrt{6})$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(\sqrt{6}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $3.4494898$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3.4494898) = 4 {(3.4494898)}^{3} - 24 \cdot 3.4494898$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $3.4494898$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (3.4494898) = 4 \cdot 41.04540972 - 24 \cdot 3.4494898$

解题步骤 8.2.1.2

将 $4$ 乘以 $41.04540972$ 。

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 24 \cdot 3.4494898$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $3.4494898$ 。

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552$

解题步骤 8.2.2

从 $164.18163891$ 中减去 $82.7877552$ 。

$f' (3.4494898) = 81.39388371$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $81.39388371$ 。

$81.39388371$

解题步骤 8.3

在 $x = 3.4494898$ 处，导数为 $81.39388371$ 。由于其值为正，函数在 $(\sqrt{6}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\sqrt{6}, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \sqrt{6}, 0), (\sqrt{6}, \infty)$

递减于： $(- \infty, - \sqrt{6}), (0, \sqrt{6})$

解题步骤 10

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