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微积分学示例

f (x) = x^{3}

$f (x) = x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 3

$n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$3 x^{2}$ 。

$3 x^{2}$

$3 x^{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$3 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$3 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

将

$3 x^{2} = 0$ 中的每一项除以

$3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将

$3 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以

$3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用

$x^{2}$ 除以

$1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{3}$

$x^{2} = \frac{0}{3}$

$x^{2} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用

$0$ 除以

$3$ 。

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4

化简

$\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.1

将

$0$ 重写为

$0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.3

正负

$0$ 是

$0$ 。

$x = 0$

$x = 0$

$x = 0$

解题步骤 3

使导数等于

$0$ 的值为

$0$ 。

$0$

解题步骤 4

求出让导数

$f' (x) = 3 x^{2}$ 等于

$0$ 或无定义的点后，用来检验

$f (x) = x^{3}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间

$(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的

$- 1$ 替换变量

$x$ 。

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$f' (- 1) = 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.2

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$f' (- 1) = 3$

解题步骤 5.2.3

最终答案为

$3$ 。

$3$

$3$

解题步骤 5.3

在

$x = - 1$ 处，导数为

$3$ 。由于其值为正，函数在

$(- \infty, 0)$ 上递增。

因为

$f' (x) > 0$ ，所以函数在

$(- \infty, 0)$ 上递增

因为

$f' (x) > 0$ ，所以函数在

$(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 6

将区间

$(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的

$1$ 替换变量

$x$ 。

$f' (1) = 3 {(1)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 3 \cdot 1$

解题步骤 6.2.2

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$f' (1) = 3$

解题步骤 6.2.3

最终答案为

$3$ 。

$3$

$3$

解题步骤 6.3

在

$x = 1$ 处，导数为

$3$ 。由于其值为正，函数在

$(0, \infty)$ 上递增。

因为

$f' (x) > 0$ ，所以函数在

$(0, \infty)$ 上递增

因为

$f' (x) > 0$ ，所以函数在

$(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间：

$(- \infty, 0), (0, \infty)$

解题步骤 8

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$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$