微积分学示例

f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则，

4 x^{3} - x^{4} + x + 5

$4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2

计算

\frac{d}{d x} [4 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为

4

$4$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

4 x^{3}

$4 x^{3}$ 对

x

$x$ 的导数是

4 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 3

$n = 3$ 。

4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2.3

将

3

$3$ 乘以

4

$4$ 。

12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3

计算

\frac{d}{d x} [- x^{4}]

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- x^{4}

$- x^{4}$ 对

x

$x$ 的导数是

- \frac{d}{d x} [x^{4}]

$- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 4

$n = 4$ 。

12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3.3

将

4

$4$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.4.2

因为

5

$5$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

5

$5$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ 和

0

$0$ 相加。

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

解题步骤 1.5.2

重新排序项。

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

解题步骤 2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

x \approx 3.02727941

$x \approx 3.02727941$

解题步骤 3

根据使一阶导数为

0

$0$ 或无意义的

x

$x$ 值，将

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

解题步骤 4

将区间

(- \infty, 3.02727941)

$(- \infty, 3.02727941)$ 内的任一数字（例如

0

$0$ ）代入一阶导数

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的

0

$0$ 替换变量

x

$x$ 。

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 4.2.1.2

将

$- 4$ 乘以

$0$ 。

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 4.2.1.3

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

解题步骤 4.2.1.4

将

$12$ 乘以

$0$ 。

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

解题步骤 4.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$f' (0) = 0 + 1$

解题步骤 4.2.2.2

将

$0$ 和

$1$ 相加。

$f' (0) = 1$

解题步骤 4.2.3

最终答案为

$1$ 。

$1$

解题步骤 5

将区间

$(3.02727941, \infty)$ 内的任一数字（例如

$6$ ）代入一阶导数

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的

$6$ 替换变量

$x$ 。

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对

$6$ 进行

$3$ 次方运算。

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.2

将

$- 4$ 乘以

$216$ 。

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.3

对

$6$ 进行

$2$ 次方运算。

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

解题步骤 5.2.1.4

将

$12$ 乘以

$36$ 。

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

解题步骤 5.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将

$- 864$ 和

$432$ 相加。

$f' (6) = - 432 + 1$

解题步骤 5.2.2.2

将

$- 432$ 和

$1$ 相加。

$f' (6) = - 431$

解题步骤 5.2.3

最终答案为

$- 431$ 。

$- 431$

解题步骤 6

由于一阶导数在

$x = 3.02727941$ 附近符号由正变为负，所以在

$x = 3.02727941$ 处有一个拐点。

解题步骤 7

求

$3.02727941$ 的 y 坐标以求拐点。

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解题步骤 7.1

求

$f (3.02727941)$ 以求出

$3.02727941$ 的 y 坐标。

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解题步骤 7.1.1

使用表达式中的

$3.02727941$ 替换变量

$x$ 。

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2

化简

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

去掉圆括号。

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 7.1.2.2.1

对

$3.02727941$ 进行

$3$ 次方运算。

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2.2.2

将

$4$ 乘以

$27.7432619$ 。

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2.2.3

对

$3.02727941$ 进行

$4$ 次方运算。

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2.2.4

将

$- 1$ 乘以

$83.98660555$ 。

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2.3

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.1.2.3.1

从

$110.9730476$ 中减去

$83.98660555$ 。

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2.3.2

将

$26.98644204$ 和

$3.02727941$ 相加。

$30.01372146 + 5$

解题步骤 7.1.2.3.3

将

$30.01372146$ 和

$5$ 相加。

$35.01372146$

解题步骤 7.2

以点的形式写出

$x$ 和

$y$ 坐标。

$(3.02727941, 35.01372146)$

解题步骤 8

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