微积分学示例

y = x^{2} + 4 x - 3

$y = x^{2} + 4 x - 3$

解题步骤 1

将

y

$y$ 表示成

x

$x$ 的函数。

f (x) = x^{2} + 4 x - 3

$f (x) = x^{2} + 4 x - 3$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则，

x^{2} + 4 x - 3

$x^{2} + 4 x - 3$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2

计算

\frac{d}{d x} [4 x]

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为

4

$4$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

4 x

$4 x$ 对

x

$x$ 的导数是

4 \frac{d}{d x} [x]

$4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.2.3

将

4

$4$ 乘以

1

$1$ 。

2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 3]

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 3]

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为

- 3

$- 3$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- 3

$- 3$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

2 x + 4 + 0

$2 x + 4 + 0$

解题步骤 2.3.2

将

2 x + 4

$2 x + 4$ 和

0

$0$ 相加。

2 x + 4

$2 x + 4$

2 x + 4

$2 x + 4$

2 x + 4

$2 x + 4$

解题步骤 3

使导数等于

0

$0$ ，然后求解方程

2 x + 4 = 0

$2 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去

4

$4$ 。

2 x = - 4

$2 x = - 4$

解题步骤 3.2

将

2 x = - 4

$2 x = - 4$ 中的每一项除以

2

$2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将

2 x = - 4

$2 x = - 4$ 中的每一项都除以

2

$2$ 。

\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用

$x$ 除以

$1$ 。

$x = \frac{- 4}{2}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

用

$- 4$ 除以

$2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 4

求在

$x = - 2$ 处的原函数

$f (x) = x^{2} + 4 x - 3$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的

$- 2$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) - 3$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对

$- 2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 2) = 4 + 4 (- 2) - 3$

解题步骤 4.2.1.2

将

$4$ 乘以

$- 2$ 。

$f (- 2) = 4 - 8 - 3$

解题步骤 4.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

从

$4$ 中减去

$8$ 。

$f (- 2) = - 4 - 3$

解题步骤 4.2.2.2

从

$- 4$ 中减去

$3$ 。

$f (- 2) = - 7$

解题步骤 4.2.3

最终答案为

$- 7$ 。

$- 7$

解题步骤 5

函数

$f (x) = x^{2} + 4 x - 3$ 的水平切线为

$y = - 7$ 。

$y = - 7$

解题步骤 6

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