微积分学示例

lim x \to 3 \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

\frac{lim x \to 3 x^{3} - 4 x - 15}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 4 x - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

当

x

$x$ 趋于

3

$3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

\frac{lim x \to 3 x^{3} - lim x \to 3 4 x - lim x \to 3 15}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.2

使用极限幂法则把

x^{3}

$x^{3}$ 的指数

3

$3$ 移到极限外。

\frac{{(lim x \to 3 x)}^{3} - lim x \to 3 4 x - lim x \to 3 15}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.3

因为项

4

$4$ 对于

x

$x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

\frac{{(lim x \to 3 x)}^{3} - 4 lim x \to 3 x - lim x \to 3 15}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.4

计算

15

$15$ 的极限值，当

x

$x$ 趋近于

3

$3$ 时此极限值为常数。

\frac{{(lim x \to 3 x)}^{3} - 4 lim x \to 3 x - 1 \cdot 15}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.5

将

3

$3$ 代入所有出现

x

$x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.2.5.1

将

3

$3$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\frac{3^{3} - 4 lim x \to 3 x - 1 \cdot 15}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{3^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.5.2

将

3

$3$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\frac{3^{3} - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{3^{3} - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

\frac{3^{3} - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{3^{3} - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.6.1.1

对

3

$3$ 进行

3

$3$ 次方运算。

\frac{27 - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{27 - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.6.1.2

将

- 4

$- 4$ 乘以

3

$3$ 。

\frac{27 - 12 - 1 \cdot 15}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{27 - 12 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.6.1.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

15

$15$ 。

\frac{27 - 12 - 15}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{27 - 12 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

\frac{27 - 12 - 15}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{27 - 12 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.6.2

从

27

$27$ 中减去

12

$12$ 。

\frac{15 - 15}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{15 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.6.3

从

15

$15$ 中减去

15

$15$ 。

\frac{0}{lim x \to 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

当

$x$ 趋于

$3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

解题步骤 1.3.2

使用极限幂法则把

$x^{3}$ 的指数

$3$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

解题步骤 1.3.3

使用极限幂法则把

$x^{2}$ 的指数

$2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

解题步骤 1.3.4

因为项

$6$ 对于

$x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 18}$

解题步骤 1.3.5

计算

$18$ 的极限值，当

$x$ 趋近于

$3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.6

将

$3$ 代入所有出现

$x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.3.6.1

将

$3$ 代入

$x$ 来计算

$x$ 的极限值。

$\frac{0}{3^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.6.2

将

$3$ 代入

$x$ 来计算

$x$ 的极限值。

$\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.6.3

将

$3$ 代入

$x$ 来计算

$x$ 的极限值。

$\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.7

化简答案。

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解题步骤 1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.7.1.1

对

$3$ 进行

$3$ 次方运算。

$\frac{0}{27 + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.7.1.2

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$\frac{0}{27 + 9 - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.7.1.3

将

$- 6$ 乘以

$3$ 。

$\frac{0}{27 + 9 - 18 - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.7.1.4

将

$- 1$ 乘以

$18$ 。

$\frac{0}{27 + 9 - 18 - 18}$

解题步骤 1.3.7.2

将

$27$ 和

$9$ 相加。

$\frac{0}{36 - 18 - 18}$

解题步骤 1.3.7.3

从

$36$ 中减去

$18$ 。

$\frac{0}{18 - 18}$

解题步骤 1.3.7.4

从

$18$ 中减去

$18$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.7.5

该表达式包含分母

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.8

该表达式包含分母

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为

$\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则，

$x^{3} - 4 x - 15$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.4

计算

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为

$- 4$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 4 x$ 对

$x$ 的导数是

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.4.3

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.5

因为

$- 15$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 15$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.6

将

$3 x^{2} - 4$ 和

$0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.7

根据加法法则，

$x^{3} + x^{2} - 6 x - 18$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

解题步骤 3.10

计算

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 3.10.1

因为

$- 6$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 6 x$ 对

$x$ 的导数是

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

解题步骤 3.10.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]}$

解题步骤 3.10.3

将

$- 6$ 乘以

$1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 18]}$

解题步骤 3.11

因为

$- 18$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 18$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + 0}$

解题步骤 3.12

将

$3 x^{2} + 2 x - 6$ 和

$0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6}$

解题步骤 4

当

$x$ 趋于

$3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

解题步骤 5

当

$x$ 趋于

$3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

解题步骤 6

因为项

$3$ 对于

$x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把

$x^{2}$ 的指数

$2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

解题步骤 8

计算

$4$ 的极限值，当

$x$ 趋近于

$3$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

解题步骤 9

当

$x$ 趋于

$3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

解题步骤 10

因为项

$3$ 对于

$x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

解题步骤 11

使用极限幂法则把

$x^{2}$ 的指数

$2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

解题步骤 12

因为项

$2$ 对于

$x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}$

解题步骤 13

计算

$6$ 的极限值，当

$x$ 趋近于

$3$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

解题步骤 14

将

$3$ 代入所有出现

$x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将

$3$ 代入

$x$ 来计算

$x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

解题步骤 14.2

将

$3$ 代入

$x$ 来计算

$x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

解题步骤 14.3

将

$3$ 代入

$x$ 来计算

$x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

化简分子。

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解题步骤 15.1.1

通过指数相加将

$3$ 乘以

$3^{2}$ 。

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解题步骤 15.1.1.1

将

$3$ 乘以

$3^{2}$ 。

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解题步骤 15.1.1.1.1

对

$3$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.1.1.1.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3^{1 + 2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.1.1.2

将

$1$ 和

$2$ 相加。

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.1.2

对

$3$ 进行

$3$ 次方运算。

$\frac{27 - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.1.3

将

$- 1$ 乘以

$4$ 。

$\frac{27 - 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.1.4

从

$27$ 中减去

$4$ 。

$\frac{23}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.2

化简分母。

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解题步骤 15.2.1

通过指数相加将

$3$ 乘以

$3^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.1

将

$3$ 乘以

$3^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.1.1

对

$3$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{23}{3^{1} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.2.1.1.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{23}{3^{1 + 2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.2.1.2

将

$1$ 和

$2$ 相加。

$\frac{23}{3^{3} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.2.2

对

$3$ 进行

$3$ 次方运算。

$\frac{23}{27 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.2.3

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$\frac{23}{27 + 6 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.2.4

将

$- 1$ 乘以

$6$ 。

$\frac{23}{27 + 6 - 6}$

解题步骤 15.2.5

将

$27$ 和

$6$ 相加。

$\frac{23}{33 - 6}$

解题步骤 15.2.6

从

$33$ 中减去

$6$ 。

$\frac{23}{27}$

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