微积分学示例

lim x \to 1 \frac{ln (x)}{x - 1}

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

\frac{lim x \to 1 ln (x)}{lim x \to 1 x - 1}

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

将极限移入对数中。

\frac{ln (lim x \to 1 x)}{lim x \to 1 x - 1}

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.2.2

将

1

$1$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\frac{ln (1)}{lim x \to 1 x - 1}

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.2.3

1

$1$ 的自然对数为

0

$0$ 。

\frac{0}{lim x \to 1 x - 1}

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

\frac{0}{lim x \to 1 x - 1}

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

当

x

$x$ 趋于

1

$1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

\frac{0}{lim x \to 1 x - lim x \to 1 1}

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.3.1.2

计算

1

$1$ 的极限值，当

x

$x$ 趋近于

1

$1$ 时此极限值为常数。

\frac{0}{lim x \to 1 x - 1 \cdot 1}

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

\frac{0}{lim x \to 1 x - 1 \cdot 1}

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

将

1

$1$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{0}{1 - 1}

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.3.3.2

从

1

$1$ 中减去

1

$1$ 。

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.3

该表达式包含分母

0

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母

0

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母

0

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

lim x \to 1 \frac{ln (x)}{x - 1} = lim x \to 1 \frac{\frac{d}{d x} [ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

lim x \to 1 \frac{\frac{d}{d x} [ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.2

ln (x)

$\ln (x)$ 对

x

$x$ 的导数为

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 。

lim x \to 1 \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3

根据加法法则，

x - 1

$x - 1$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

lim x \to 1 \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

lim x \to 1 \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.5

因为

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- 1

$- 1$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

lim x \to 1 \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}$

解题步骤 3.6

将

1

$1$ 和

0

$0$ 相加。

lim x \to 1 \frac{\frac{1}{x}}{1}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

lim x \to 1 \frac{\frac{1}{x}}{1}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

lim x \to 1 \frac{1}{x} \cdot 1

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot 1$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

将

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 乘以

1

$1$ 。

lim x \to 1 \frac{1}{x}

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

解题步骤 5.2

当

x

$x$ 趋于

1

$1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

\frac{lim x \to 1 1}{lim x \to 1 x}

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 5.3

计算

1

$1$ 的极限值，当

x

$x$ 趋近于

1

$1$ 时此极限值为常数。

\frac{1}{lim x \to 1 x}

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

\frac{1}{lim x \to 1 x}

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 6

将

1

$1$ 代入

x

$x$ 来计算

x

$x$ 的极限值。

\frac{1}{1}

$\frac{1}{1}$

解题步骤 7

用

1

$1$ 除以

1

$1$ 。

1

$1$

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