微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) - \sin (2 x)}{x - \sin (x)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (x) - \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.2.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.2.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.2.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \sin (0) - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \sin (0) - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.2.7

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.7.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.2.7.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.2.7.1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.2.7.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.2.7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.2.7.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 1.3.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.3.3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.3.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

解题步骤 1.3.4

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 0}$

解题步骤 1.3.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.3.4.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) - \sin (2 x)}{x - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x) - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x) - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $2 \sin (x) - \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3.4.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3.4.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3.4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3.4.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3.4.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (2 \cos (2 x))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3.4.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $x - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 3.7.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \cos (x)}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2.7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cos (0) - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2.7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cos (0) - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2.8

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.8.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.8.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2 \cdot 1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2.8.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2.8.1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2 - 2 \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2.8.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2 - 2 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2.8.1.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.2.8.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

解题步骤 4.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 4.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 4.1.3.1.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

解题步骤 4.1.3.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.3.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 4.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.2

根据加法法则， $2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.4.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.4.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.4.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.4.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.4.7

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.5

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

解题步骤 4.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.7.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 4.3.7.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 - - \sin (x)}$

解题步骤 4.3.7.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + 1 \sin (x)}$

解题步骤 4.3.7.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + \sin (x)}$

解题步骤 4.3.8

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} - 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to 0} 2 \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 2 lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2.4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2.5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2.7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 2 \sin (0) + 4 \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2.7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 2 \sin (0) + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2.8

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.8.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.8.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{- 2 \cdot 0 + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2.8.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2.8.1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 4 \sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2.8.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2.8.1.5

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.2.8.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 5.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.3.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 5.1.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.2

根据加法法则， $- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.4.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.4.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.4.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.4.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (2 \cdot \cos (2 x))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.4.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 5.3.5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 6.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to 0} 2 \cos (x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 6.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 6.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 6.5

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 6.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 6.7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 6.8

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

解题步骤 8

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- 2 \cdot 1 + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

解题步骤 8.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

解题步骤 8.1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 2 + 8 \cos (0)}{\cos (0)}$

解题步骤 8.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- 2 + 8 \cdot 1}{\cos (0)}$

解题步骤 8.1.5

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 + 8}{\cos (0)}$

解题步骤 8.1.6

将 $- 2$ 和 $8$ 相加。

$\frac{6}{\cos (0)}$

解题步骤 8.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{6}{1}$

解题步骤 8.3

用 $6$ 除以 $1$ 。

$6$

输入您的问题

微积分学 示例

微积分学示例