微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 4 x - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.4

计算 $15$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.5

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{3} - 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.5.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{3} - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.6

化简答案。

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解题步骤 1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.6.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{27 - 4 \cdot 3 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{27 - 12 - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$\frac{27 - 12 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.6.2

从 $27$ 中减去 $12$ 。

$\frac{15 - 15}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.2.6.3

从 $15$ 中减去 $15$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

解题步骤 1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

解题步骤 1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 18}$

解题步骤 1.3.4

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 18}$

解题步骤 1.3.5

计算 $18$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.6

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3^{3} + {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.6.3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3^{3} + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.7

化简答案。

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解题步骤 1.3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.7.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{0}{27 + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.7.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{27 + 9 - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.7.1.3

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{27 + 9 - 18 - 1 \cdot 18}$

解题步骤 1.3.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $18$ 。

$\frac{0}{27 + 9 - 18 - 18}$

解题步骤 1.3.7.2

将 $27$ 和 $9$ 相加。

$\frac{0}{36 - 18 - 18}$

解题步骤 1.3.7.3

从 $36$ 中减去 $18$ 。

$\frac{0}{18 - 18}$

解题步骤 1.3.7.4

从 $18$ 中减去 $18$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.7.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 4 x - 15}{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x - 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{3} - 4 x - 15$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.4.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [- 15]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.5

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.6

将 $3 x^{2} - 4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} - 6 x - 18]}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $x^{3} + x^{2} - 6 x - 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

解题步骤 3.10

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 3.10.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

解题步骤 3.10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]}$

解题步骤 3.10.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 18]}$

解题步骤 3.11

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6 + 0}$

解题步骤 3.12

将 $3 x^{2} + 2 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} - 4}{3 x^{2} + 2 x - 6}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

解题步骤 6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

解题步骤 8

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 2 x - 6}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

解题步骤 10

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

解题步骤 11

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}$

解题步骤 12

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}$

解题步骤 13

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

解题步骤 14

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

解题步骤 14.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}$

解题步骤 14.3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

化简分子。

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解题步骤 15.1.1

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 15.1.1.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 15.1.1.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3^{1 + 2} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{27 - 1 \cdot 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{27 - 4}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.1.4

从 $27$ 中减去 $4$ 。

$\frac{23}{3 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.2

化简分母。

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解题步骤 15.2.1

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{23}{3^{1} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{23}{3^{1 + 2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{23}{3^{3} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.2.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{23}{27 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{23}{27 + 6 - 1 \cdot 6}$

解题步骤 15.2.4

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{23}{27 + 6 - 6}$

解题步骤 15.2.5

将 $27$ 和 $6$ 相加。

$\frac{23}{33 - 6}$

解题步骤 15.2.6

从 $33$ 中减去 $6$ 。

$\frac{23}{27}$

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