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微积分学示例

f (x) = \frac{1}{x}

$f (x) = \frac{1}{x}$ ,

[- 6, 6]

$[- 6, 6]$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

将

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 重写为

x^{- 1}

$x^{- 1}$ 。

\frac{d}{d x} [x^{- 1}]

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = - 1

$n = - 1$ 。

- x^{- 2}

$- x^{- 2}$

解题步骤 1.1.3

使用负指数规则

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

f (x)

$f (x)$ 对

x

$x$ 的一阶导数是

- \frac{1}{x^{2}}

$- \frac{1}{x^{2}}$ 。

- \frac{1}{x^{2}}

$- \frac{1}{x^{2}}$

- \frac{1}{x^{2}}

$- \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2

判断导数在

[- 6, 6]

$[- 6, 6]$ 上是否连续。

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解题步骤 2.1

要求函数在

[- 6, 6]

$[- 6, 6]$ 上是否连续，请求出

f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1.1

将

\frac{1}{x^{2}}

$\frac{1}{x^{2}}$ 的分母设为等于

0

$0$ ，以求使表达式无意义的区间。

x^{2} = 0

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.1.2

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

x = \pm \sqrt{0}

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.1.2.2

化简

\pm \sqrt{0}

$\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将

0

$0$ 重写为

0^{2}

$0^{2}$ 。

x = \pm \sqrt{0^{2}}

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

x = \pm 0

$x = \pm 0$

解题步骤 2.1.2.2.3

正负

0

$0$ 是

0

$0$ 。

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

解题步骤 2.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值

x

$x$ 。

区间计数法：

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

{x | x \neq 0}

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

{x | x \neq 0}

${x | x \neq 0}$

解题步骤 2.2

f' (x)

$f' (x)$ 在

[- 6, 6]

$[- 6, 6]$ 上不连续，因为

0

$0$ 不在

f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ 的定义域内。

该函数不连续。

该函数不连续。

解题步骤 3

因为导数

- \frac{1}{x^{2}}

$- \frac{1}{x^{2}}$ 在

[- 6, 6]

$[- 6, 6]$ 上不连续，所以函数在

[- 6, 6]

$[- 6, 6]$ 上不可微。

该函数不可微。

解题步骤 4

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[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$