微积分学示例

\frac{- 3}{(x - 3) (x - 2)}

$\frac{- 3}{(x - 3) (x - 2)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置

A

$A$ 上放置单个变量。

\frac{A}{x - 3}

$\frac{A}{x - 3}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置

B

$B$ 上放置单个变量。

\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}$

解题步骤 1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为

(x - 3) (x - 2)

$(x - 3) (x - 2)$ 。

\frac{(- 3) (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}

$\frac{(- 3) (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 1.4

约去

x - 3

$x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

\frac{- 3 (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}

$\frac{- 3 (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

\frac{(- 3) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}

$\frac{(- 3) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

\frac{(- 3) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}

$\frac{(- 3) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 1.5

约去

x - 2

$x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

\frac{- 3 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}

$\frac{- 3 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 1.5.2

用

- 3

$- 3$ 除以

1

$1$ 。

- 3 = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}

$- 3 = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

- 3 = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}

$- 3 = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1

约去

x - 3

$x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

约去公因数。

- 3 = \frac{A (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}

$- 3 = \frac{A (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 1.6.1.2

用

(A) (x - 2)

$(A) (x - 2)$ 除以

1

$1$ 。

- 3 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}

$- 3 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

- 3 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}

$- 3 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

- 3 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}

$- 3 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 1.6.3

将

- 2

$- 2$ 移到

A

$A$ 的左侧。

- 3 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}

$- 3 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 1.6.4

约去

x - 2

$x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.4.1

约去公因数。

- 3 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}

$- 3 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 1.6.4.2

用

(B) (x - 3)

$(B) (x - 3)$ 除以

1

$1$ 。

- 3 = A x - 2 A + (B) (x - 3)

$- 3 = A x - 2 A + (B) (x - 3)$

- 3 = A x - 2 A + (B) (x - 3)

$- 3 = A x - 2 A + (B) (x - 3)$

解题步骤 1.6.5

运用分配律。

- 3 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 3

$- 3 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 3$

解题步骤 1.6.6

将

- 3

$- 3$ 移到

B

$B$ 的左侧。

- 3 = A x - 2 A + B x - 3 B

$- 3 = A x - 2 A + B x - 3 B$

- 3 = A x - 2 A + B x - 3 B

$- 3 = A x - 2 A + B x - 3 B$

解题步骤 1.7

移动

- 2 A

$- 2 A$ 。

- 3 = A x + B x - 2 A - 3 B

$- 3 = A x + B x - 2 A - 3 B$

- 3 = A x + B x - 2 A - 3 B

$- 3 = A x + B x - 2 A - 3 B$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边

x

$x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

0 = A + B

$0 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边不含

x

$x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

- 3 = - 2 A - 3 B

$- 3 = - 2 A - 3 B$

解题步骤 2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

0 = A + B

$0 = A + B$

- 3 = - 2 A - 3 B

$- 3 = - 2 A - 3 B$

0 = A + B

$0 = A + B$

- 3 = - 2 A - 3 B

$- 3 = - 2 A - 3 B$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在

0 = A + B

$0 = A + B$ 中求解

A

$A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为

A + B = 0

$A + B = 0$ 。

A + B = 0

$A + B = 0$

- 3 = - 2 A - 3 B

$- 3 = - 2 A - 3 B$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去

B

$B$ 。

A = - B

$A = - B$

- 3 = - 2 A - 3 B

$- 3 = - 2 A - 3 B$

A = - B

$A = - B$

- 3 = - 2 A - 3 B

$- 3 = - 2 A - 3 B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的

A

$A$ 替换成

- B

$- B$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用

- B

$- B$ 替换

- 3 = - 2 A - 3 B

$- 3 = - 2 A - 3 B$ 中所有出现的

A

$A$ .

- 3 = - 2 (- B) - 3 B

$- 3 = - 2 (- B) - 3 B$

A = - B

$A = - B$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简

- 2 (- B) - 3 B

$- 2 (- B) - 3 B$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 2

$- 2$ 。

- 3 = 2 B - 3 B

$- 3 = 2 B - 3 B$

A = - B

$A = - B$

解题步骤 3.2.2.1.2

从

2 B

$2 B$ 中减去

3 B

$3 B$ 。

- 3 = - B

$- 3 = - B$

A = - B

$A = - B$

- 3 = - B

$- 3 = - B$

A = - B

$A = - B$

- 3 = - B

$- 3 = - B$

A = - B

$A = - B$

- 3 = - B

$- 3 = - B$

A = - B

$A = - B$

解题步骤 3.3

在

- 3 = - B

$- 3 = - B$ 中求解

B

$B$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为

- B = - 3

$- B = - 3$ 。

- B = - 3

$- B = - 3$

A = - B

$A = - B$

解题步骤 3.3.2

将

- B = - 3

$- B = - 3$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将

- B = - 3

$- B = - 3$ 中的每一项都除以

- 1

$- 1$ 。

\frac{- B}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

A = - B

$A = - B$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

\frac{B}{1} = \frac{- 3}{- 1}

$\frac{B}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

A = - B

$A = - B$

解题步骤 3.3.2.2.2

用

B

$B$ 除以

1

$1$ 。

B = \frac{- 3}{- 1}

$B = \frac{- 3}{- 1}$

A = - B

$A = - B$

B = \frac{- 3}{- 1}

$B = \frac{- 3}{- 1}$

A = - B

$A = - B$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

用

- 3

$- 3$ 除以

- 1

$- 1$ 。

B = 3

$B = 3$

A = - B

$A = - B$

B = 3

$B = 3$

A = - B

$A = - B$

B = 3

$B = 3$

A = - B

$A = - B$

B = 3

$B = 3$

A = - B

$A = - B$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的

B

$B$ 替换成

3

$3$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用

3

$3$ 替换

A = - B

$A = - B$ 中所有出现的

B

$B$ .

A = - (3)

$A = - (3)$

B = 3

$B = 3$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

3

$3$ 。

A = - 3

$A = - 3$

B = 3

$B = 3$

A = - 3

$A = - 3$

B = 3

$B = 3$

A = - 3

$A = - 3$

B = 3

$B = 3$

解题步骤 3.5

列出所有解。

A = - 3, B = 3

$A = - 3, B = 3$

A = - 3, B = 3

$A = - 3, B = 3$

解题步骤 4

将

\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的

A

$A$ 和

B

$B$ 的值。

\frac{- 3}{x - 3} + \frac{3}{x - 2}

$\frac{- 3}{x - 3} + \frac{3}{x - 2}$

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