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微积分学示例

y = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1}

$y = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对

x^{2} + 3 x - 4

$x^{2} + 3 x - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

c

$c$ ，且和为

b

$b$ 。在本例中，其积即为

- 4

$- 4$ ，和为

3

$3$ 。

- 1, 4

$- 1, 4$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}$

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1}$

解题步骤 2

对

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

将

1

$1$ 重写为

1^{2}

$1^{2}$ 。

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1^{2}}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

a = x

$a = x$ 和

b = 1

$b = 1$ 。

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3

约去

$x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$y = \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3.2

重写表达式。

$y = \frac{x + 4}{x + 1}$

$y = \frac{x + 4}{x + 1}$

解题步骤 4

要求图像中的空心点，请考虑被约去的分母因数。

$x - 1$

解题步骤 5

要求空心点的坐标，请将每个被约去的因数设为等于

$0$ 并求解，然后代回到

$\frac{x + 4}{x + 1}$ 中。

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解题步骤 5.1

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上

$1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.3

代入

$1$ 替换

$\frac{x + 4}{x + 1}$ 中的

$x$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

代入

$1$ 替换

$x$ 以求空心点的

$y$ 坐标。

$\frac{1 + 4}{1 + 1}$

解题步骤 5.3.2

化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将

$1$ 和

$4$ 相加。

$\frac{5}{1 + 1}$

解题步骤 5.3.2.2

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{5}{2}$

$\frac{5}{2}$

$\frac{5}{2}$

解题步骤 5.4

图像中的空心点是指被约去的因式等于

$0$ 的点。

$(1, \frac{5}{2})$

$(1, \frac{5}{2})$

解题步骤 6

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$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$