微积分学示例

$y = \frac{1}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 无定义。

$x = - 1, x = 1$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{1}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{1}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = - 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 1$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{1}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{1}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = 1$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - 1, 1$

解题步骤 5

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 6

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 0$

$m = 2$

解题步骤 7

因为 $n < m$ ，所以 x 轴、 $y = 0$ 是水平渐近线。

$y = 0$

解题步骤 8

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 1, 1$

水平渐近线： $y = 0$

不存在斜渐近线

解题步骤 10

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